Sea $ABC$ un triángulo equilátero y $P$ un punto en su plano tal que $AP<BP<CP.$ Suponga que las longitudes de los segmentos $AP,BP$ y $CP$ determinan únicamente el lado de $ABC$. Demuestre que $P$ se encuentra en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC.$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. La recta que pasa por $C$ perpendicular a $AC$ se encuentra con la bisectriz del ángulo externo de $\angle ABC$ en $D$ . Sea $H$ el pie de la perpendicular desde $D$ sobre $BC$ . El punto $K$ se elige en $AB$ de modo que $KH \parallel AC$ . Sea $M$ el punto medio de $AK$ . Demostrar que $MC = MB + BH$ .

Sea $BM$ una mediana en un triángulo acutángulo $ABC$ . Se elige un punto $K$ en la recta que pasa por $C$ tangente a la circunferencia circunscrita de $\vartriangle BMC$ de modo que $\angle KBC = 90^\circ$ . Los segmentos $AK$ y $BM$ se encuentran en $J$ . Demostrar que el circuncentro de $\triangle BJK$ se encuentra en la recta $AC$ .

Fijar un entero impar $n > 1$ . Para una permutación $p$ del conjunto $\{1,2,...,n\}$ , sea S el número de pares de índices $(i, j)$ , $1 \le i \le j \le n$ , para los cuales $p_i +p_{i+1} +...+p_j$ es divisible por $n$ . Determinar el valor máximo posible de $S$ .

Fijar un entero $n \ge 2$ . Una pieza de ajedrez mágica leopardo puede moverse una celda hacia arriba, o una celda hacia la derecha, o una celda diagonalmente hacia abajo a la izquierda. Un leopardo se coloca en alguna celda de un tablero de ajedrez de $3n \times 3n$. El leopardo hace varios movimientos, sin visitar nunca una celda dos veces, y regresa a la celda de inicio. Determinar el número máximo posible de movimientos que el leopardo podría haber hecho.

Considere un $\triangle {ABC}$, con $AC \perp BC$. Considere un punto $D$ en $AB$ tal que $CD=k$, y los radios de los círculos inscritos en $\triangle {ADC}$ y $\triangle {CDB}$ son iguales. Demuestre que el área de $\triangle {ABC}$ es igual a $k^2$.

Resuelva la siguiente ecuación en enteros con gcd (x, y) = 1 $x^2 + y^2 = 2 z^2$

Pedro y Cecilia juegan el siguiente juego: Pedro elige un número entero positivo $a$ y Cecilia gana si encuentra un número entero positivo $b$, primo con $a$, tal que, en la factorización de $a^3+b^3$ aparecerán tres números primos diferentes. Demuestre que Cecilia siempre puede ganar.

Dos círculos $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se encuentran en dos puntos distintos $A$ y $B$. Una línea que pasa por $A$ se encuentra con $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ de nuevo en $C$ y $D$ respectivamente, de tal manera que $A$ se encuentra entre $C$ y $D$. La tangente en $A$ a $\Gamma_2$ se encuentra con $\Gamma_1$ de nuevo en $E$. Sea $F$ un punto en $\Gamma_2$ tal que $F$ y $A$ se encuentran en lados diferentes de $BD$, y $2\angle AFC=\angle ABC$. Demostrar que la tangente en $F$ a $\Gamma_2$, y las líneas $BD$ y $CE$ son concurrentes.

Consideremos un pentágono convexo $ABCDE$ y un punto variable $X$ en su lado $CD$. Supongamos que los puntos $K, L$ se encuentran en el segmento $AX$ de tal manera que $AB = BK$ y $AE = EL$ y que las circunferencias circunscritas de los triángulos $CXK$ y $DXL$ se intersecan por segunda vez en $Y$. Cuando $X$ varía, demostrar que todas esas líneas $XY$ pasan por un punto fijo, o son todas paralelas.