Sea $E$ el conjunto de los $1983^3$ puntos del espacio $\mathbb R^3$ cuyas tres coordenadas son enteros entre $0$ y $1982$ (incluyendo $0$ y $1982$ ). Una coloración de $E$ es una función de $E$ al conjunto {rojo, azul}. ¿Cuántas coloraciones de $E$ hay que satisfacen la siguiente propiedad: El número de vértices rojos entre los $8$ vértices de cualquier paralelepípedo rectángulo es un múltiplo de $4$ ?

Encuentra todas las funciones $f$ definidas en el conjunto de los reales positivos que toman valores reales positivos y satisfacen: $f(xf(y))=yf(x)$ para todos $x,y$ ; y $f(x)\to0$ cuando $x\to\infty$ .

Sea $f : [0, 1] \to \mathbb R$ continua y satisface:\n\[ \begin{cases}bf(2x) = f(x), &\mbox{ si } 0 \leq x \leq 1/2,\ f(x) = b + (1 - b)f(2x - 1), &\mbox{ si } 1/2 \leq x \leq 1,\end{cases}\]\ndonde $b = \frac{1+c}{2+c}$ , $c > 0$ . Muestra que $0 < f(x)-x < c$ para cada $x, 0 < x < 1.$

(a) Dado un tetraedro $ABCD$ y sus cuatro alturas (es decir, líneas que pasan por cada vértice, perpendiculares a la cara opuesta), asuma que la altura trazada desde $D$ pasa por el ortocentro $H_4$ del $\triangle ABC$ . Demuestre que esta altura $DH_4$ interseca a las otras tres alturas. (b) Si además sabemos que una segunda altura, digamos la que va desde el vértice A a la cara $BCD$ , también pasa por el ortocentro $H_1$ del $\triangle BCD$ , entonces demuestre que las cuatro alturas son concurrentes y cada una pasa por el ortocentro del triángulo respectivo.

Diecisiete ciudades son servidas por cuatro aerolíneas. Se observa que hay servicio directo (sin escalas) entre dos ciudades y que todos los horarios de las aerolíneas ofrecen vuelos de ida y vuelta. Demuestre que al menos una de las aerolíneas puede ofrecer un viaje de ida y vuelta con un número impar de aterrizajes.

Las localidades $P_1, P_2, \dots, P_{1983}$ son servidas por diez aerolíneas internacionales $A_1,A_2, \dots , A_{10}$ . Se observa que hay servicio directo (sin escalas) entre dos de estas localidades y que todos los horarios de las aerolíneas ofrecen vuelos de ida y vuelta. Demuestre que al menos una de las aerolíneas puede ofrecer un viaje de ida y vuelta con un número impar de aterrizajes.

Los números $a$ , $b$ , $c$ , $d$ satisfacen $0<a \leq b \leq d \leq c$ y ${a+c=b+d}$ . Demuestra que para cada punto interior $P$ de un segmento con longitud $a$ este segmento es un lado de un cuadrilátero circunscrito con lados consecutivos $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , tal que su incírculo contiene ~ $P$ .

Un cubo se encuentra en uno de los cuadrados de un tablero de ajedrez infinito. En cada cara del cubo hay una flecha que apunta en una de las cuatro direcciones paralelas a los lados de la cara. Anton mira el cubo desde arriba y lo hace rodar sobre un borde en la dirección apuntada por la flecha en la cara superior. Demuestra que el cubo no puede cubrir ningún cuadrado de $5\times 5$.

Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes complejos no constante y sea $Q(x,y)=P(x)-P(y).$ Suponga que el polinomio $Q(x,y)$ tiene exactamente $k$ factores lineales no proporcionales dos a dos (sin contar repeticiones). Sea $R(x,y)$ un factor de $Q(x,y)$ de grado estrictamente menor que $k$. Demuestre que $R(x,y)$ es un producto de polinomios lineales. Nota: El grado del polinomio no trivial $\sum_{m}\sum_{n}c_{m,n}x^{m}y^{n}$ es el máximo de $m+n$ a lo largo de todos los coeficientes no nulos $c_{m,n}.$ Dos polinomios son proporcionales si uno de ellos es el otro multiplicado por una constante compleja.

Dos hormigas se mueven a lo largo de las aristas de un poliedro convexo. La ruta de cada hormiga termina en su punto de partida, de modo que una hormiga no pasa por el mismo punto dos veces a lo largo de su camino. En cada cara $F$ del poliedro se escribe el número de aristas de $F$ que pertenecen a la ruta de la primera hormiga y el número de aristas de $F$ que pertenecen a la ruta de la segunda hormiga. ¿Existe un poliedro y un par de rutas descritas como anteriormente, tales que solo una cara contiene un par de números distintos?