Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con el ángulo recto en $B$ y circuncírculo $c$ . Denotemos por $D$ el punto medio del arco más corto $AB$ de $c$ . Sea $P$ el punto en el lado $AB$ tal que $CP=CD$ y sean $X$ e $Y$ dos puntos distintos en $c$ que satisfacen $AX=AY=PD$ . Demuestre que $X, Y$ y $P$ son colineales.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AB<AC$ . Sea $D$ el punto de intersección de la bisectriz perpendicular del lado $BC$ con el lado $AC$ . Sea $P$ un punto en el arco más corto $AC$ del circuncírculo del triángulo $ABC$ tal que $DP \parallel BC$ . Finalmente, sea $M$ el punto medio del lado $AB$ . Demuestre que $\angle APD=\angle MPB$ .

Demuestre que todo entero de $1$ a $2019$ se puede representar como una expresión aritmética que consta de hasta $17$ símbolos $2$ y un número arbitrario de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y paréntesis. Los $2$ 's no se pueden usar para ninguna otra operación, por ejemplo, para formar números de varios dígitos (como $222$ ) o potencias (como $2^2$ ) . Ejemplos válidos: $$\left((2\times 2+2)\times 2-\frac{2}{2}\right)\times 2=22 \;\;, \;\; (2\times2\times 2-2)\times \left(2\times 2 +\frac{2+2+2}{2}\right)=42$$

Hay $n$ niños y $n$ niñas en una clase escolar, donde $n$ es un entero positivo. Las alturas de todos los niños en esta clase son distintas. Cada niña determina el número de niños que son más altos que ella, resta el número de niñas que son más altas que ella, y escribe el resultado en un pedazo de papel. Cada niño determina el número de niñas que son más bajas que él, resta el número de niños que son más bajos que él, y escribe el resultado en un pedazo de papel. Demuestre que los números escritos por las niñas son los mismos que los números escritos por los niños (hasta una permutación).

Sea $\alpha$ un número real. Determine todos los polinomios $P$ con coeficientes reales tales que $$P(2x+\alpha)\leq (x^{20}+x^{19})P(x)$$ se cumple para todos los números reales $x$ .

Determine los valores posibles más pequeño y más grande de la expresión $$\left( \frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\right)\left( \frac{a^2}{a^2+1}+\frac{b^2}{b^2+1}+\frac{c^2}{c^2+1}\right)$$ siempre que $a,b$ y $c$ sean números reales no negativos que satisfacen $ab+bc+ca=1$ .

Para un entero positivo $n$ , sea $\varphi(n)$ y $d(n)$ denotan el valor de la función phi de Euler en $n$ y el número de divisores positivos de $n$ , respectivamente. Demuestre que hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $\varphi(n)$ y $d(n)$ son ambos cuadrados perfectos.

Determine todos los pares de enteros positivos $(m, n)$ para los cuales existe una función biyectiva \[f : \mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n \to \mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n\] tal que los vectores $f(\mathbf{v}) + \mathbf{v}$ , cuando $\mathbf{v}$ recorre todo $\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n$ , son distintos por pares. (Para cualquier entero $a$ y $b$ , los vectores $[a, b], [a + m, b]$ y $[a, b + n]$ se consideran iguales.)

En el triángulo $ABC$ con circuncírculo $\Gamma$ , el incírculo $\omega$ toca los lados $BC, CA$ , y $AB$ en $D, E$ , y $F$ , respectivamente. La línea que pasa por $D$ perpendicular a $EF$ se encuentra con $\omega$ en $K\neq D$ . La línea $AK$ se encuentra con $\Gamma$ en $L\neq A$ . Los rayos $KI$ y $IL$ se encuentran con el circuncírculo del triángulo $BIC$ en $Q\neq I$ y $P\neq I$ , respectivamente. Los circuncírculos de los triángulos $KFB$ y $KEC$ se encuentran con $EF$ en $R\neq F$ y $S\neq E$ , respectivamente. Pruebe que $PQRS$ es cíclico.

La circunferencia inscrita de un triángulo escaleno $ABC$ toca los lados $BC, CA$ y $AB$ en los puntos $D, E$ y $F$, respectivamente. Los triángulos $APE$ y $AQF$ se construyen fuera del triángulo de modo que\n\[AP =PE, AQ=QF, \angle APE=\angle ACB,\text{ y }\angle AQF =\angle ABC.\]\nSea $M$ el punto medio de $BC$. Encuentre $\angle QMP$ en términos de los ángulos del triángulo $ABC$.