Existe un triángulo con área de $12 \, cm^2$ y perímetro de $12$ cm?

Existe un cuadrilátero convexo cuyas diagonales lo dividen en cuatro triángulos con áreas de números primos distintos?

$ABCD$ es un cuadrilátero cíclico. Un círculo que pasa por $A,B$ es tangente al segmento $CD$ en el punto $E$ . Otro círculo que pasa por $C,D$ es tangente a $AB$ en el punto $F$ . El punto $G$ es el punto de intersección de $AE,DF$ , y el punto $H$ es el punto de intersección de $BE$ , $CF$ . Demuestra que los incentros de los triángulos $AGF$ , $BHF$ , $CHE$ , $DGE$ se encuentran en un círculo.

El cuadrilátero $ABCD$ está circunscrito alrededor de un círculo. Las diagonales $AC,BD$ no son perpendiculares entre sí. Las bisectrices de los ángulos entre estas diagonales intersecan los segmentos $AB,BC,CD$ y $DA$ en los puntos $K,L,M$ y $N$ . Dado que $KLMN$ es cíclico, demuestra que también lo es $ABCD$ .

Encuentra todos los valores posibles del entero $n > 3$ tal que haya un $n$ - gono convexo en el que cada diagonal sea la bisectriz perpendicular de al menos otra diagonal.

En el triángulo acutángulo $ABC, \angle A = 45^o$ . Los puntos $O,H$ son el circuncentro y el ortocentro de $ABC$ , respectivamente. $D$ es el pie de la altitud desde $B$ . El punto $X$ es el punto medio del arco $AH$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $ADH$ que contiene a $D$ . Demuestra que $DX = DO$ .

Dos círculos $\omega_1,\omega_2$ se intersectan entre sí en los puntos $A,B$ . Sea $PQ$ una línea tangente común de estos dos círculos con $P \in \omega_1$ y $Q \in \omega_2$ . Un punto arbitrario $X$ se encuentra en $\omega_1$ . La línea $AX$ interseca a $ \omega_2$ por segunda vez en $Y$ . El punto $Y'\ne Y$ se encuentra en $\omega_2$ tal que $QY = QY'$ . La línea $Y'B$ interseca a $ \omega_1$ por segunda vez en $X'$ . Demuestra que $PX = PX'$ .

Supongamos que $ABCD$ es un paralelogramo tal que $\angle DAC = 90^o$ . Sea $H$ el pie de la perpendicular desde $A$ a $DC$ , también sea $P$ un punto a lo largo de la línea $AC$ tal que la línea $PD$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABD$ . Demuestra que $\angle PBA = \angle DBH$ .

Tenemos un poliedro todas cuyas caras son triángulos. Sea $P$ un punto arbitrario en una de las aristas de este poliedro tal que $P$ no es el punto medio o el punto final de esta arista. Asumamos que $P_0 = P$ . En cada paso, conecta $P_i$ al centroide de una de las caras que lo contienen. Esta línea se encuentra con el perímetro de esta cara nuevamente en el punto $P_{i+1}$ . Continúa este proceso con $P_{i+1}$ y la otra cara que contiene a $P_{i+1}$ . Demuestra que al continuar este proceso, no podemos pasar por todas las caras. (El centroide de un triángulo es el punto de intersección de sus medianas.)

Sean $\omega_1,\omega_2$ dos círculos con centros $O_1$ y $O_2$ , respectivamente. Estos dos círculos se intersecan entre sí en los puntos $A$ y $B$ . La línea $O_1B$ interseca a $\omega_2$ por segunda vez en el punto $C$ , y la línea $O_2A$ interseca a $\omega_1$ por segunda vez en el punto $D$ . Sea $X$ la segunda intersección de $AC$ y $\omega_1$ . También $Y$ es el segundo punto de intersección de $BD$ y $\omega_2$ . Demuestra que $CX = DY$ .