En el cuadrilátero convexo $ABCD$ , las diagonales $AC$ y $BD$ se encuentran en el punto $P$ . Sabemos que $\angle DAC = 90^o$ y $2 \angle ADB = \angle ACB$ . Si tenemos $ \angle DBC + 2 \angle ADC = 180^o$ demuestra que $2AP = BP$ .

Hay tres rectángulos en la siguiente figura. Se muestran las longitudes de algunos segmentos. Encuentra la longitud del segmento $XY$ .

Hay dos círculos con centros $O_1,O_2$ que se encuentran dentro del círculo $\omega$ y son tangentes a él. La cuerda $AB$ de $\omega$ es tangente a estos dos círculos de tal manera que se encuentran en lados opuestos de esta cuerda. Demuestra que $\angle O_1AO_2 + \angle O_1BO_2 > 90^\circ$ .

La secuencia $0, 1, 1, 1, 1, 1,....,1$ donde hay $1$ número cero y $1995$ números uno. Si elegimos dos o más números en esta secuencia (pero no todos los $1996$ números) y sustituimos un número por la media aritmética de los números seleccionados, obtenemos una nueva secuencia con $1996$ números!!! Demuestre que podemos repetir esta operación hasta que todos los $1996$ números sean iguales Nota: ¡¡No es necesario elegir la misma cantidad de números en cada operación!!!

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo inscrito en un círculo $k$ . Se sabe que la tangente desde $A$ al círculo se encuentra con la línea $BC$ en el punto $P$ . Sea $M$ el punto medio del segmento de línea $AP$ y $R$ el segundo punto de intersección del círculo $k$ con la línea $BM$ . La línea $PR$ se encuentra nuevamente con el círculo $k$ en el punto $S$ diferente de $R$ . Demuestra que las líneas $AP$ y $CS$ son paralelas.

Para cualquier entero positivo $n $ , sea $ d(n) $ el número de divisores positivos de $ n $ . ¿Existen enteros positivos $ a $ y $b $ , tales que $ d(a)=d(b)$ y $ d(a^2 ) = d(b^2 ) $ , pero $ d(a^3 ) \ne d(b^3 ) $ ?

Encuentra todas las tripletas $ (x,y,z) $ de enteros positivos tales que \[ x^y + y^x = z^y \] \[ x^y + 2012 = y^{z+1} \]

Sea $ ABCD $ un cuadrilátero convexo sin un par de lados paralelos, tal que $ \angle ABC = \angle CDA $ . Suponga que las intersecciones de los pares de bisectrices de ángulos vecinos de $ ABCD $ forman un cuadrilátero convexo $ EFGH $ . Sea $ K $ la intersección de las diagonales de $ EFGH$ . Demuestre que las líneas $ AB $ y $ CD $ se intersecan en la circunferencia circunscrita del triángulo $ BKD $ .

Sea $ K $ el punto medio del lado $ AB $ de un triángulo dado $ ABC $ . Sean $ L $ y $ M$ puntos en los lados $ AC $ y $ BC$ , respectivamente, tales que $ \angle CLK = \angle KMC $ . Demuestre que las perpendiculares a los lados $ AB, AC, $ y $ BC $ que pasan por $ K,L, $ y $M$ , respectivamente, son concurrentes.

Sea $ p>2 $ un número primo. Para cualquier permutación $ \pi = ( \pi(1) , \pi(2) , \cdots , \pi(p) ) $ del conjunto $ S = \{ 1, 2, \cdots , p \} $ , sea $ f( \pi ) $ el número de múltiplos de $ p $ entre los siguientes $ p $ números: \[ \pi(1) , \pi(1) + \pi(2) , \cdots , \pi(1) + \pi(2) + \cdots + \pi(p) \] Determine el valor promedio de $ f( \pi) $ tomado sobre todas las permutaciones $ \pi $ de $ S $ .