Dado un triángulo $ABC$, con $| AB | + | AC | = 3 \cdot | BC |$. Denotemos $D, E$ también puntos tales que $BCDA$ y $CBEA$ son paralelogramos. En los lados $AC$ y $AB$, se seleccionan $F$ y $G$ respectivamente de modo que $| AF | = | AG | = | BC |$. Demuestra que las líneas $DF$ y $EG$ se intersecan en el segmento de línea $BC$.

Encuentra el entero más grande $n \ge 3$ para el cual existe un número de $n$ dígitos $\overline{a_1a_2a_3...a_n}$ con dígitos no nulos $a_1, a_2$ y $a_n$, que es divisible por $\overline{a_2a_3...a_n}$.

Sea $d(n)$ la suma de los divisores enteros positivos del número $n$ y $\phi(n)$ la cantidad de enteros en el intervalo $[0,n]$ tales que estos enteros son coprimos con $n$ . Por ejemplo $d(6)=12$ y $\phi(7)=6$ . Determinar si el conjunto de los enteros $n$ tales que $d(n)\cdot \phi (n)$ es un cuadrado perfecto, es un conjunto finito o infinito.

Una forma es la unión de rectángulos cuadrados cuyas bases son segmentos unitarios consecutivos en una línea horizontal que deja todos los rectángulos en el mismo lado, y cuyas alturas $m_1, ... , m_n$ satisfacen $m_1\ge ... \ge m_n$ . Un ángulo en una forma consiste en una caja $v$ y de todas las cajas a la derecha de $v$ y todas las cajas arriba de $v$ . El tamaño de una forma de un ángulo es el número de cajas que contiene. Hallar el número máximo de ángulos de tamaño $11$ en una forma de tamaño $400$ .

Consideramos $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ dos círculos que se intersecan en los puntos $P$ y $Q$ . Sean $A , B$ y $C$ puntos en el círculo $\Gamma_1$ y $D , E$ y $F$ puntos en el círculo $\Gamma_2$ de modo que las líneas $A E$ y $B D$ se intersecan en $P$ y las líneas $A F$ y $C D$ se intersecan en $Q$ . Denotamos $M$ y $N$ las intersecciones de las líneas $A B$ y $D E$ y de las líneas $A C$ y $D F$ , respectivamente. Demostrar que $A M D N$ es un paralelogramo.

Sean $D$, $E$, $F$ los puntos medios de los arcos $BC$, $CA$, $AB$ en la circunferencia circunscrita de un triángulo $ABC$ que no contienen los puntos $A$, $B$, $C$, respectivamente. Sea la línea $DE$ que se encuentra con $BC$ y $CA$ en $G$ y $H$, y sea $M$ el punto medio del segmento $GH$. Sea la línea $FD$ que se encuentra con $BC$ y $AB$ en $K$ y $J$, y sea $N$ el punto medio del segmento $KJ$. a) Encuentra los ángulos del triángulo $DMN$; b) Demuestra que si $P$ es el punto de intersección de las líneas $AD$ y $EF$, entonces el circuncentro del triángulo $DMN$ se encuentra en la circunferencia circunscrita del triángulo $PMN$.

Paralelas a los lados de un triángulo que pasan por un punto interior dividen el interior de un triángulo en $6$ partes con las áreas marcadas como en la figura. Muestra que $\frac{a}{\alpha}+\frac{b}{\beta}+\frac{c}{\gamma}\ge \frac{3}{2}$

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB = AC$. Un semicírculo de diámetro $[EF]$ con $E, F \in [BC]$, es tangente a los lados $AB, AC$ en $M, N$ respectivamente y $AE$ interseca el semicírculo en $P$. Demuestra que $PF$ pasa por el punto medio de $[MN]$.

Tres círculos iguales tienen un punto común $M$ y se intersecan en pares en los puntos $A, B, C$ . Demuestra que $M$ es el ortocentro del triángulo $ABC$ .

Sea $G$ el baricentro del triángulo $ABC$ , y $A'$ el simétrico de $A$ con respecto a $C$ . Demuestra que $G, B, C, A'$ son concíclicos si y sólo si $GA \perp GC$ .