Demuestra que, dado un entero positivo $n$ , existe un entero positivo $k_n$ con la siguiente propiedad: Dados $k_n$ puntos en el espacio, $4$ por $4$ no coplanares, y números enteros asociados entre $1$ y $n$ a cada arista afilada que une $2$ de estos puntos, necesariamente hay un triángulo determinado por $3$ de ellos, cuyas aristas afiladas tienen asociado el mismo número.

Demuestra que existe una sucesión $a_1, a_2, ... , a_k, ...$ , donde cada $a_i$ es un dígito ( $a_i \in (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)$ ) y $a_0=6$ , tal que, para cada entero positivo $n$ , el número $x_n=a_0+10a_1+100a_2+...+10^{n-1}a_{n-1}$ verifica que $x_n^2-x_n$ es divisible por $10^n$ .

En un tablero de ajedrez ( $8\times 8$ ) están escritos los números $1$ a $64$ : en la primera línea, de izquierda a derecha, están los números $1, 2, 3, ... , 8$ ; en la segunda línea, de izquierda a derecha, están los números $9, 10, 11, ... , 16$ ; etc. Los signos ' ' $ + $ ' ' y ' ' $- $ ' ' se colocan en cada número de tal manera que, en cada línea y en cada columna, hay $4$ signos ' ' $+$ ' ' y $4$ signos ' ' $-$ ' '. Entonces, se suman los $64$ números. Encuentra todos los valores posibles de esta suma.

Una función $g$ definida para todos los enteros positivos $n$ satisface $g(1) = 1$ ; para todo $n\ge 1$ , o bien $g(n+1)=g(n)+1$ o $g(n+1)=g(n)-1$ ; para todo $n\ge 1$ , $g(3n) = g(n)$ ; y $g(k)=2001$ para algún entero positivo $k$ . Encuentra, con prueba, el valor más pequeño posible de $k$ .

Encuentra todos los enteros positivos $m$ para los cuales $2001\cdot S (m) = m$ donde $S(m)$ denota la suma de los dígitos de $m$ .

Un polígono de área $S$ está contenido dentro de un cuadrado de lado de longitud $a$ . Demuestra que existen dos puntos del polígono que están a una distancia de al menos $S/a$ .

Hay un cuadrado $ABCD$ en el plano con $|AB|=a$. Determinar el valor de radio posible más pequeño de tres círculos iguales para cubrir un cuadrado dado.

Sean $a, b, c$ números reales positivos para los cuales $ab + ac + bc \ge a + b + c$. Demostrar que $a + b + c \ge 3$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle DAB =\angle ABC =\angle BCD > 90^o$. El círculo circunscrito alrededor del triángulo $ABC$ intersecta los lados $AD$ y $CD$ en los puntos $K$ y $L$, respectivamente, diferentes de cualquier vértice del cuadrilátero $ABCD$. Los segmentos $AL$ y $CK$ se intersectan en el punto $P$. Demostrar que $\angle ADB =\angle PDC$.

En un cierto grupo hay $n \ge 5$ personas, con cada dos personas que no se conocen teniendo exactamente un amigo en común y nadie conoce a todos los demás. Probar que $5$ de $n$ personas pueden sentarse en un círculo alrededor de la mesa de modo que cada uno de ellos se siente entre a) amigos, b) extraños.