En un triángulo acutángulo $ABC$, sean $D$, $E$, $F$ los pies de las perpendiculares desde los puntos $A$, $B$, $C$ a las líneas $BC$, $CA$, $AB$, respectivamente, y sean $P$, $Q$, $R$ los pies de las perpendiculares desde los puntos $A$, $B$, $C$ a las líneas $EF$, $FD$, $DE$, respectivamente. Demostrar que $p\left(ABC\right)p\left(PQR\right) \ge \left(p\left(DEF\right)\right)^{2}$, donde $p\left(T\right)$ denota el perímetro del triángulo $T$.

Sea $ABC$ un triángulo, y $M$ el punto medio de su lado $BC$. Sea $\gamma$ la circunferencia inscrita del triángulo $ABC$. La mediana $AM$ del triángulo $ABC$ interseca la circunferencia inscrita $\gamma$ en dos puntos $K$ y $L$. Sean las líneas que pasan por $K$ y $L$, paralelas a $BC$, intersecan la circunferencia inscrita $\gamma$ de nuevo en dos puntos $X$ e $Y$. Sean las líneas $AX$ y $AY$ intersecan $BC$ de nuevo en los puntos $P$ y $Q$. Demostrar que $BP = CQ$.

Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo con $AB \not= AC$. Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$, y sea $M$ el punto medio del lado $BC$. Sea $D$ un punto en el lado $AB$ y $E$ un punto en el lado $AC$ tal que $AE=AD$ y los puntos $D$, $H$, $E$ están en la misma línea. Demostrar que la línea $HM$ es perpendicular a la cuerda común de las circunferencias circunscritas del triángulo $\triangle ABC$ y del triángulo $\triangle ADE$.

Sea $a_1,a_2,\ldots$ una secuencia de enteros con infinitos términos positivos y negativos. Suponga que para cada entero positivo $n$ los números $a_1,a_2,\ldots,a_n$ dejan $n$ restos diferentes al dividirse por $n$ . Demuestre que cada entero aparece exactamente una vez en la secuencia $a_1,a_2,\ldots$

Se eligen seis puntos en los lados de un triángulo equilátero $ABC$ : $A_1$ , $A_2$ en $BC$ , $B_1$ , $B_2$ en $CA$ y $C_1$ , $C_2$ en $AB$ , de tal manera que son los vértices de un hexágono convexo $A_1A_2B_1B_2C_1C_2$ con lados iguales. Demuestre que las líneas $A_1B_2$ , $B_1C_2$ y $C_1A_2$ son concurrentes.

Supongamos que tenemos un $n$ - gono convexo. Algunos $n-3$ diagonales están coloreados de negro y otros $n-3$ diagonales están coloreados de rojo (un lado no es una diagonal), de modo que no dos diagonales del mismo color pueden intersectarse estrictamente dentro del polígono, aunque pueden compartir un vértice. Encuentre el número máximo de puntos de intersección entre diagonales coloreadas de manera diferente estrictamente dentro del polígono, en términos de $n$ .

Supongamos que $ a_1$ , $ a_2$ , $ \ldots$ , $ a_n$ son enteros tales que $ n\mid a_1 + a_2 + \ldots + a_n$ . Demostrar que existen dos permutaciones $ \left(b_1,b_2,\ldots,b_n\right)$ y $ \left(c_1,c_2,\ldots,c_n\right)$ de $ \left(1,2,\ldots,n\right)$ tales que para cada entero $ i$ con $ 1\leq i\leq n$ , tenemos \[ n\mid a_i - b_i - c_i\]

En una competición matemática, en la que se plantearon $6$ problemas a los participantes, cada dos de estos problemas fueron resueltos por más de $\frac 25$ de los concursantes. Además, ningún concursante resolvió los $6$ problemas. Demostrar que hay al menos $2$ concursantes que resolvieron exactamente $5$ problemas cada uno.

Sea $n\geq 3$ un entero fijo. Cada lado y cada diagonal de un $n$ -ágono regular está etiquetado con un número del conjunto $\left\{1;\;2;\;...;\;r\right\}$ de forma que se cumplen las dos condiciones siguientes: 1. Cada número del conjunto $\left\{1;\;2;\;...;\;r\right\}$ aparece al menos una vez como etiqueta. 2. En cada triángulo formado por tres vértices del $n$ -ágono, dos de los lados están etiquetados con el mismo número, y este número es mayor que la etiqueta del tercer lado. (a) Hallar el $r$ máximo para el que es posible tal etiquetado. (b) Versión más difícil (Lista corta de la IMO 2005): Para este valor máximo de $r$ , ¿cuántos etiquetados de este tipo hay? Versión más fácil (5º TST alemán 2006) - contiene la respuesta a la versión más difícil Versión más fácil (5º TST alemán 2006): Demostrar que, para este valor máximo de $r$ , hay exactamente $\frac{n!\left(n-1\right)!}{2^{n-1}}$ etiquetados posibles.

Consideremos un tablero rectangular de $m \times n$ que consta de $mn$ cuadrados unitarios. Dos de sus cuadrados unitarios se denominan adyacentes si tienen un lado común, y una trayectoria es una secuencia de cuadrados unitarios en la que dos cuadrados consecutivos cualesquiera son adyacentes. Dos trayectorias se denominan no intersecantes si no comparten ningún cuadrado común. Cada cuadrado unitario del tablero rectangular puede colorearse de blanco o negro. Hablamos de una coloración del tablero si todos sus $mn$ cuadrados unitarios están coloreados. Sea $N$ el número de coloraciones del tablero tales que existe al menos una trayectoria negra desde el borde izquierdo del tablero hasta su borde derecho. Sea $M$ el número de coloraciones del tablero para las que existen al menos dos trayectorias negras no intersecantes desde el borde izquierdo del tablero hasta su borde derecho. Demostrar que $N^{2}\geq M\cdot 2^{mn}$.