¿Cuántas soluciones enteras positivas tiene la ecuación $$\left\lfloor\frac{x}{10}\right\rfloor= \left\lfloor\frac{x}{11}\right\rfloor + 1?$$ ( $\lfloor x \rfloor$ denota la parte entera de $x$ , por ejemplo $\lfloor 2\rfloor = 2$ , $\lfloor \pi\rfloor = 3$ , $\lfloor \sqrt2 \rfloor =1$ )

Hay $m$ pueblos en la margen izquierda del Lena, $n$ pueblos en la margen derecha y un pueblo en una isla. Se sabe que $(m+1,n+1)>1$ . Cada dos pueblos separados por agua están conectados por un ferry con un número entero positivo. Los habitantes de cada pueblo dicen que todos los transbordadores que operan en su pueblo tienen números diferentes y estos números forman un segmento de la serie de los enteros. Demuestra que al menos algunos de ellos están equivocados.

Cada uno de los $n$ cuadrados negros y $n$ cuadrados blancos se puede obtener mediante una traslación uno del otro. Cada dos cuadrados de diferentes colores tienen un punto en común. Demuestra que hay un punto que pertenece al menos a $n$ cuadrados.

El radio del círculo $\omega_A$ con centro en el vértice $A$ de un triángulo $\triangle{ABC}$ es igual al radio del excírculo tangente a $BC$ . Los círculos $\omega_B$ y $\omega_C$ se definen de manera similar. Demuestra que si dos de estos círculos son tangentes, entonces cada dos de ellos son tangentes entre sí.

Para dos trinomios cuadráticos $P(x)$ y $Q(x)$ hay una función lineal $\ell(x)$ tal que $P(x)=Q(\ell(x))$ para todo $x$ real. ¿Cuántas de tales funciones lineales $\ell(x)$ pueden existir?

Los números positivos $a,\ b,\ c$ satisfacen $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3$ . Demuestra la desigualdad $\dfrac{1}{\sqrt{a^3+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^3+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^3+1}}\le \dfrac{3}{\sqrt{2}}.$

Los puntos $K$ y $L$ en el lado $BC$ de un triángulo $\triangle{ABC}$ son tales que $\widehat{BAK}=\widehat{CAL}=90^\circ$ . Demuestra que el punto medio de la altura trazada desde $A$ , el punto medio de $KL$ y el circuncentro de $\triangle{ABC}$ son colineales.

Se dibuja un 'paralelogramo' de $k\times \ell$ en un papel con celdas hexagonales (consta de $k$ filas horizontales de $\ell$ celdas cada una). En este paralelogramo se elige un conjunto de lados no intersecantes de hexágonos; divide todos los vértices en pares. Juniors) ¿Cuántos lados verticales puede haber en este conjunto? Seniors) ¿De cuántas maneras se puede hacer eso? [asy]\nsize(120);\ndefaultpen(linewidth(0.8));\npath hex = dir(30)--dir(90)--dir(150)--dir(210)--dir(270)--dir(330)--cycle;\nfor(int i=0;i<=3;i=i+1)\n{\nfor(int j=0;j<=2;j=j+1)\n{\nreal shiftx=j*sqrt(3)/2+i*sqrt(3),shifty=j*3/2;\ndraw(shift(shiftx,shifty)*hex);\n}\n}\n[/asy]

Se dan tres primos diferentes. ¿Qué número máximo de estos primos puede dividir su suma?

Sean los enteros positivos $a,\ b,\ c$ coprimos por pares. Denotamos por $g(a,\ b,\ c)$ el entero máximo no representable en la forma $xa+yb+zc$ con $x,\ y,\ z$ enteros positivos. Demuestra que $g(a,\ b,\ c)\ge \sqrt{2abc}$