Determine todos los enteros positivos $n$ tales que la siguiente afirmación se cumple: Si un polígono convexo con $2n$ lados $A_1 A_2 \ldots A_{2n}$ está inscrito en un círculo y $n-1$ de sus $n$ pares de lados opuestos son paralelos, lo que significa que si los pares de lados opuestos \n\[(A_1 A_2, A_{n+1} A_{n+2}), (A_2 A_3, A_{n+2} A_{n+3}), \ldots , (A_{n-1} A_n, A_{2n-1} A_{2n})\]\nson paralelos, entonces los lados \n\[ A_n A_{n+1}, A_{2n} A_1\]\nson paralelos también.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$ y circunradio $R$ . $AO$ se encuentra con la circunferencia circunscrita de $BOC$ en $A'$ , $BO$ se encuentra con la circunferencia circunscrita de $COA$ en $B'$ y $CO$ se encuentra con la circunferencia circunscrita de $AOB$ en $C'$ . Demuestre que \[OA'\cdot OB'\cdot OC'\geq 8R^{3}.\]

Sean los lados de dos rectángulos $ \{a,b\}$ y $ \{c,d\},$ respectivamente, con $ a < c \leq d < b$ y $ ab < cd.$ Demuestre que el primer rectángulo puede ser colocado dentro del segundo si y solo si \[ \left(b^2 - a^2\right)^2 \leq \left(bc - ad \right)^2 + \left(bd - ac \right)^2.\]

Sea la sucesión $ a(n), n = 1,2,3, \ldots$ generada como sigue con $ a(1) = 0,$ y para $ n > 1:$ \[ a(n) = a\left( \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor \right) + (-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}.\] 1.) Determina el valor máximo y mínimo de $ a(n)$ para $ n \leq 1996$ y encuentra todos los $ n \leq 1996$ para los cuales se alcanzan estos valores extremos. 2.) ¿Cuántos términos $ a(n), n \leq 1996,$ son iguales a 0?

Sea $ \mathbb{N}_0$ el conjunto de los enteros no negativos. Encuentra todas las funciones $ f$ de $ \mathbb{N}_0$ en sí mismo tales que \[ f(m + f(n)) = f(f(m)) + f(n)\qquad \text{para todo} \; m, n \in \mathbb{N}_0.\]

Sean $ a_{1}, a_{2}...a_{n}$ reales no negativos, no todos cero. Muestra que\n(a) El polinomio $ p(x) = x^{n} - a_{1}x^{n - 1} + ... - a_{n - 1}x - a_{n}$ tiene precisamente 1 raíz real positiva $ R$ .\n(b) sea $ A = \sum_{i = 1}^n a_{i}$ y $ B = \sum_{i = 1}^n ia_{i}$ . Muestra que $ A^{A} \leq R^{B}$ .

Sea $ a > 2$ dado, y comenzando $ a_0 = 1, a_1 = a$ define recursivamente: \[ a_{n+1} = \left(\frac{a^2_n}{a^2_{n-1}} - 2 \right) \cdot a_n.\] Muestra que para todos los enteros $ k > 0,$ tenemos: $ \sum^k_{i = 0} \frac{1}{a_i} < \frac12 \cdot (2 + a - \sqrt{a^2-4}).$

Sean $ a_1 \geq a_2 \geq \ldots \geq a_n$ números reales tales que para todos los enteros $ k > 0,$ \[ a^k_1 + a^k_2 + \ldots + a^k_n \geq 0.\] Sea $ p =\max\{|a_1|, \ldots, |a_n|\}.$ Demuestra que $ p = a_1$ y que \[ (x - a_1) \cdot (x - a_2) \cdots (x - a_n) \leq x^n - a^n_1\] para todos los $ x > a_1.$

Suponga que $a, b, c > 0$ tal que $abc = 1$. Demuestra que \[ \frac{ab}{ab + a^5 + b^5} + \frac{bc}{bc + b^5 + c^5} + \frac{ca}{ca + c^5 + a^5} \leq 1. \]

Sean $AL$ y $BK$ bisectrices de los ángulos en el triángulo no isósceles $ABC$ ( $L$ se encuentra en el lado $BC$ , $K$ se encuentra en el lado $AC$ ) . La bisectriz perpendicular de $BK$ interseca la línea $AL$ en el punto $M$ . El punto $N$ se encuentra en la línea $BK$ tal que $LN$ es paralelo a $MK$ . Demuestre que $LN = NA$ .