¿Es posible colorear todos los números reales positivos con 10 colores de modo que cada dos números con representaciones decimales que difieren en un solo lugar sean de diferentes colores? (Suponemos que no hay lugar en una representación decimal tal que todos los dígitos a partir de ese lugar sean 9).

$ABCD$ es un cuadrilátero convexo; las semirrectas $DA$ y $CB$ se encuentran en el punto $Q$ ; las semirrectas $BA$ y $CD$ se encuentran en el punto $P$ . Se sabe que $\angle AQB=\angle APD$ . La bisectriz del ángulo $\angle AQB$ se encuentra con los lados $AB$ y $CD$ del cuadrilátero en los puntos $X$ e $Y$ , respectivamente; la bisectriz del ángulo $\angle APD$ se encuentra con los lados $AD$ y $BC$ en los puntos $Z$ y $T$ , respectivamente. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $ZQT$ y $XPY$ se encuentran en el punto $K$ dentro del cuadrilátero. Demuestre que $K$ se encuentra en la diagonal $AC$ .

Números distintos de cero están dispuestos en un cuadrado de $n \times n$ ( $n>2$ ) . Cada número es exactamente $k$ veces menor que la suma de todos los demás números en la misma cruz (es decir, $2n-2$ números escritos en la misma fila o columna con este número). Encuentre todos los $k$ posibles.

Todos los enteros positivos se distribuyen entre dos conjuntos disjuntos $N_{1}$ y $N_{2}$ de tal manera que ninguna diferencia de dos números que pertenecen al mismo conjunto es un primo mayor que 100. Encuentre todas esas distribuciones.

El cuadrado unitario $ABCD$ está dividido en $10^{12}$ cuadrados más pequeños (no necesariamente iguales). Demuestre que la suma de los perímetros de todos los cuadrados más pequeños que tienen puntos en común con la diagonal $AC$ no excede 1500.

¿Existen trinomios cuadráticos $P, \ \ Q, \ \ R$ tales que para cada enteros $x$ e $y$ exista un entero $z$ que satisfaga $P(x)+Q(y)=R(z)?$

Resuelva la ecuación \[(a^{2},b^{2})+(a,bc)+(b,ac)+(c,ab)=199.\] en enteros positivos. (Aquí $(x,y)$ denota el máximo común divisor de $x$ e $y$ . )

Diez equipos de voleibol jugaron un torneo; cada dos equipos se enfrentaron exactamente una vez. El ganador del juego obtiene 1 punto, el perdedor obtiene 0 (no hay empates en el voleibol). Si el equipo que anotó $n$ - ésimo tiene $x_{n}$ puntos ( $n=1, \dots, 10$ ) , pruebe que $x_{1}+2x_{2}+\dots+10x_{10}\geq 165$ .

Considerar una secuencia de enteros positivos $x_n$ tal que: \[(\text{A})\ x_{2n+1}=4x_n+2n+2 \] \[(\text{B})\ x_{3n+2}=3x_{n+1}+6x_n \] para todo $n\ge 0$. Demostrar que \[(\text{C})\ x_{3n-1}=x_{n+2}-2x_{n+1}+10x_n \] para todo $n\ge 0$.

Encontrar todos los enteros escritos como $\overline{abcd}$ en representación decimal y $\overline{dcba}$ en base $7$.