Encontrar el mayor entero positivo $x$ tal que $23^{6+x}$ divide a $2000!$

Encontrar todos los cubos perfectos positivos que no son divisibles por $10$ tales que el número obtenido al borrar los últimos tres dígitos también es un cubo perfecto.

Demostrar que existen al menos $666$ números compuestos positivos con $2006$ dígitos, que tienen un dígito igual a $7$ y todos los demás iguales a $1$.

Un semicírculo de diámetro $EF$ se coloca en el lado $BC$ de un triángulo $ABC$ y es tangente a los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $Q$ y $P$ respectivamente. Demuestra que el punto de intersección $K$ entre las líneas $EP$ y $FQ$ se encuentra en la altura desde $A$ del triángulo $ABC$.

Demuestra que el producto de cinco enteros positivos consecutivos no puede ser el cuadrado de un entero.

(a) Decide si los campos del tablero de ajedrez de $8 \times 8$ pueden ser numerados con los números $1, 2, \dots , 64$ de tal manera que la suma de los cuatro números en cada una de sus partes de una de las formas es divisible por cuatro.\n(b) Resuelve el problema análogo para

Una caja de $2\times 2\times 12$ fijada en el espacio debe ser llenada con veinticuatro ladrillos de $1 \times 1 \times 2$. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

En una permutación $(x_1, x_2, \dots , x_n)$ del conjunto $1, 2, \dots , n$ llamamos a un par $(x_i, x_j )$ discordante si $i < j$ y $x_i > x_j$ . Sea $d(n, k)$ el número de tales permutaciones con exactamente $k$ pares discordantes. Encuentra $d(n, 2)$ y $d(n, 3).$

Comienza con $a$ bolas blancas y $b$ bolas negras. \n(2) Extrae una bola al azar. \n(3) Si la bola es blanca, entonces detente. De lo contrario, agrega dos bolas negras y ve al paso 2. \nSea $S$ el número de extracciones antes de que el proceso termine. Para los casos $a = b = 1$ y $a = b = 2$ solamente, encuentra $a_n = P(S = n), b_n = P(S \le n), \lim_{n\to\infty} b_n$ , y el valor esperado del número de bolas extraídas: $E(S) =\displaystyle\sum_{n\ge1} na_n.$

Para cada entero $n \geq 2$, sea $F(n)$ denote el mayor factor primo de $n$. Un par extraño es un par de primos distintos $p$ y $q$ tal que no hay un entero $n \geq 2$ para el cual $F(n)F(n+1)=pq$. Demuestre que existen infinitos pares extraños.