Sea $n$ un entero positivo. Ana y Banana están jugando el siguiente juego: Primero, Ana coloca $2n$ tazas en una fila sobre una mesa, cada una boca abajo. Luego coloca una bola debajo de una taza y hace un agujero en la mesa debajo de alguna otra taza. Banana luego da una secuencia finita de comandos a Ana, donde cada comando consiste en intercambiar dos tazas adyacentes en la fila. Su objetivo es lograr que la bola haya caído en el agujero durante el juego. Asumiendo que Banana no tiene información sobre la posición del agujero y la posición de la bola en ningún momento, ¿cuál es el número más pequeño de comandos que tiene que dar para lograr su objetivo?

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $ |AB | < |AC |$ y ortocentro $H$ . El círculo con centro A y radio $ |AC |$ interseca a la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ en el punto $D$ y el círculo con centro $A$ y radio $ |AB |$ interseca al segmento $\overline{AD}$ en el punto $K. $ La línea que pasa por $K$ paralela a $CD $ interseca a $BC$ en el punto $ L.$ Si $M$ es el punto medio de $\overline{BC}$ y N es el pie de la perpendicular desde $H$ a $AL, $ demostrar que la línea $ MN $ biseca al segmento $\overline{AH}$ .

Hallar todos los pares $ (x; y) $ de enteros positivos tales que $$xy | x^2 + 2y -1.$$

Sean $a, b, c$ números reales no nulos tales que $a^2+b+c=\frac{1}{a}, b^2+c+a=\frac{1}{b}, c^2+a+b=\frac{1}{c}.$ Demostrar que al menos dos de $a, b, c$ son iguales.

Sebastián tiene un cierto número de rectángulos con áreas que suman hasta 3 y con longitudes de lado todas menores o iguales a $1$ . Demuestre que con cada uno de estos rectángulos es posible cubrir un cuadrado con lado $1$ de tal manera que los lados de los rectángulos sean paralelos a los lados del cuadrado. Nota: Los rectángulos pueden superponerse y pueden sobresalir por encima de los lados del cuadrado.

Dada una sucesión $C$ de $1001$ números reales positivos (no necesariamente distintos), y dado un conjunto $K$ de enteros positivos distintos, la operación permitida es: seleccionar un número $k\in{K}$ , luego seleccionar $k$ números en $C$ , calcular la media aritmética de esos $k$ números y reemplazar cada uno de esos $k$ números seleccionados con la media. Si $K$ es un conjunto tal que para cada $C$ podemos alcanzar, mediante una secuencia de operaciones permitidas, un estado donde todos los números son iguales, determine el valor posible más pequeño del elemento máximo de $K$.

Andrea y Bruno juegan un juego en una tabla con $11$ filas y $9$ columnas. Primero, Andrea divide la tabla en $33$ zonas. Cada zona está formada por $3$ celdas contiguas alineadas vertical u horizontalmente, como se muestra en la figura. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/d/e/8969bc57d26297155926b5377b265c2bb24e8a.png Luego, Bruno escribe uno de los números $0, 1, 2, 3, 4, 5$ en cada celda de tal manera que la suma de los números en cada zona es igual a $5$ . Bruno gana si la suma de los números escritos en cada una de las $9$ columnas de la tabla es un número primo. De lo contrario, Andrea gana. Demuestre que Bruno siempre tiene una estrategia ganadora.

Sean $A$ , $B$ y $C$ tres puntos tales que $B$ es el punto medio del segmento $AC$ y sea $P$ un punto tal que $<PBC=60$ . El triángulo equilátero $PCQ$ se construye de tal manera que $B$ y $Q$ están en diferentes semiplanos con respecto a $PC$ , y el triángulo equilátero $APR$ se construye de tal manera que $B$ y $R$ están en el mismo semiplano con respecto a $AP$ . Sea $X$ el punto de intersección de las líneas $BQ$ y $PC$ , y sea $Y$ el punto de intersección de las líneas $BR$ y $AP$ . Demuestre que $XY$ y $AC$ son paralelos.

Un gancho consta de tres segmentos de longitud $1$ formando dos ángulos rectos como se muestra en la figura. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/1/d/630d8a98004501ed552fc326b0d8513e7fbc23.png Tenemos un cuadrado de lado $n$ dividido en $n^2$ cuadrados de lado $1$ por líneas paralelas a sus lados. Los ganchos se colocan en este cuadrado de tal manera que cada segmento del gancho cubre un lado de un pequeño cuadrado. Dos segmentos de un gancho no pueden superponerse. Determine todos los valores posibles de $n$ para los cuales es posible cubrir los lados de los $n^2$ pequeños cuadrados.

Los cuatro círculos en la figura determinan 10 regiones acotadas. Se escriben $10$ números que suman $100$ en estas regiones, uno en cada región. La suma de los números contenidos en cada círculo es igual a $S$ (la misma cantidad para cada uno de los cuatro círculos). Determine los valores posibles máximo y mínimo de $S$.