El incírculo del triángulo $ \triangle ABC$ toca los lados $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ en $ D, E, F$ respectivamente. $ X$ es un punto dentro del triángulo $ \triangle ABC$ tal que el incírculo del triángulo $ \triangle XBC$ toca $ BC$ en $ D$ , y toca $ CX$ y $ XB$ en $ Y$ y $ Z$ respectivamente. Demuestre que $ E, F, Z, Y$ son concíclicos.

Sean $ A, B$ y $ C$ puntos no colineales. Demuestre que existe un único punto $ X$ en el plano de $ ABC$ tal que \[ XA^2 + XB^2 + AB^2 = XB^2 + XC^2 + BC^2 = XC^2 + XA^2 + CA^2.\]

Sean $ A,B,C,D$ cuatro puntos distintos en una recta, en ese orden. Los círculos con diámetros $ AC$ y $ BD$ se intersecan en $ X$ y $ Y$ . La recta $ XY$ se encuentra con $ BC$ en $ Z$ . Sea $ P$ un punto en la recta $ XY$ diferente de $ Z$ . La recta $ CP$ interseca el círculo con diámetro $ AC$ en $ C$ y $ M$ , y la recta $ BP$ interseca el círculo con diámetro $ BD$ en $ B$ y $ N$ . Demuestre que las rectas $ AM,DN,XY$ son concurrentes.

Sea $ n$ un entero, $ n \geq 3.$ Sean $ a_1, a_2, \ldots, a_n$ números reales tales que $ 2 \leq a_i \leq 3$ para $ i = 1, 2, \ldots, n.$ Si $ s = a_1 + a_2 + \ldots + a_n,$ demuestra que \[ \frac{a^2_1 + a^2_2 - a^2_3}{a_1 + a_2 - a_3} + \frac{a^2_2 + a^2_3 - a^2_4}{a_2 + a_3 - a_4} + \ldots + \frac{a^2_n + a^2_1 - a^2_2}{a_n + a_1 - a_2} \leq 2s - 2n.\]

Sean $ a$ y $ b$ enteros no negativos tales que $ ab \geq c^2,$ donde $ c$ es un entero. Demuestra que existe un número $ n$ y enteros $ x_1, x_2, \ldots, x_n, y_1, y_2, \ldots, y_n$ tales que \[ \sum^n_{i=1} x^2_i = a, \sum^n_{i=1} y^2_i = b, \text{ y } \sum^n_{i=1} x_iy_i = c.\]

Sean $ a$, $ b$, $ c$ números reales positivos tales que $ abc = 1$. Demuestra que \[ \frac {1}{a^{3}(b + c)} + \frac {1}{b^{3}(c + a)} + \frac {1}{c^{3}(a + b)}\geq \frac {3}{2}.\]

Sea $d$ un número real positivo. El escorpión intenta atrapar a la pulga en un tablero de ajedrez de $10\times 10$ . La longitud del lado de cada pequeño cuadrado del tablero de ajedrez es $1$ . En este juego, la pulga y el escorpión se mueven alternativamente. La pulga siempre está en uno de los $121$ vértices del tablero de ajedrez y, en cada turno, puede saltar desde el vértice donde está a uno de los vértices adyacentes. El escorpión se mueve en la línea del borde del tablero de ajedrez, y, en cada turno, puede caminar a lo largo de cualquier camino de longitud menor que $d$ . Al principio, la pulga está en el centro del tablero de ajedrez y el escorpión está en un punto que él elige en la línea del borde. La pulga es la primera en jugar. Se dice que la pulga escapa si alcanza un punto de la línea del borde, que el escorpión no puede alcanzar en el siguiente turno. Obviamente, para valores grandes de $d$ , el escorpión tiene una estrategia para evitar el escape de la pulga. ¿Para qué valores de $d$ puede escapar la pulga? Justifica tu respuesta.

Considera dos círculos, tangentes en $T$ , ambos inscritos en un rectángulo de altura $2$ y ancho $4$ . Un punto $E$ se mueve en sentido antihorario alrededor del círculo de la izquierda, y un punto $D$ se mueve en sentido horario alrededor del círculo de la derecha. $E$ y $D$ comienzan a moverse al mismo tiempo; $E$ comienza en $T$ , y $D$ comienza en $A$ , donde $A$ es el punto donde el círculo de la derecha se intersecta con el lado superior del rectángulo. Ambos puntos se mueven con la misma velocidad. Encuentra el lugar geométrico de los puntos medios de los segmentos que unen $E$ y $D$ .

Cada uno de tres amigos, Mário, João y Filipe, practica uno, y solo uno, de los siguientes deportes: fútbol, baloncesto y natación. Ninguno de estos deportes es practicado por más de uno de los amigos. Cada uno de los amigos le gusta un cierto tipo de fruta: a uno le gustan las naranjas, a otro los plátanos y al otro las papayas. Encuentra, para cada uno, qué deporte practica y qué fruta prefiere, dado que:\n* Mário no le gustan las naranjas;\n* João no juega al fútbol;\n* El nadador odia los plátanos;\n* El nadador y al que le gustan las naranjas practican deportes diferentes;\n* Al que le gustan las papayas y el futbolista visitan a Filipe todos los sábados.

Todos los enteros positivos se distribuyen entre dos conjuntos disjuntos $N_{1}$ y $N_{2}$ de tal manera que ninguna diferencia de dos números que pertenecen al mismo conjunto es un primo mayor que 100. Encuentre todas esas distribuciones.