Para un entero $n \geq 5,$ dos jugadores juegan el siguiente juego en un $n$ -ágono regular. Inicialmente, se eligen tres vértices consecutivos, y se coloca un contador en cada uno. Un movimiento consiste en que un jugador deslice un contador a lo largo de cualquier número de aristas a otro vértice del $n$ -ágono sin saltar sobre otro contador. Un movimiento es legal si el área del triángulo formado por los contadores es estrictamente mayor después del movimiento que antes. Los jugadores se turnan para hacer movimientos legales, y si un jugador no puede hacer un movimiento legal, ese jugador pierde. ¿Para qué valores de $n$ el jugador que hace el primer movimiento tiene una estrategia ganadora?

¿Existe una secuencia infinita de enteros positivos $a_1, a_2, a_3, . . .$ tal que $a_m$ y $a_n$ son coprimos si y sólo si $|m - n| = 1$ ?

En un círculo con un radio $R$ se inscribe un hexágono convexo. Las diagonales $AD$ y $BE$ , $BE$ y $CF$ , $CF$ y $AD$ del hexágono se intersectan en los puntos $M$ , $N$ y $K$ , respectivamente. Sean $r_1,r_2,r_3,r_4,r_5,r_6$ los radios de los círculos inscritos en los triángulos $ ABM,BCN,CDK,DEM,EFN,AFK$ respectivamente. Demostrar que. $$r_1+r_2+r_3+r_4+r_5+r_6\leq R\sqrt{3}$$ .

Encontrar todos los números reales $a$ tales que existe $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con $$f(x-f(y))=f(x)+a[y]$$ para todo $x,y\in \mathbb{R}$

Un cocodrilo elige una baldosa de $1$ x $4$ de un cuadrado de $2018$ x $2018$. El oso tiene un tilómetro que comprueba si en un cuadrado de $3$ x $3$ del cuadrado de $2018$ x $2018$ hay alguna de las celdas elegidas por el cocodrilo. El tilómetro dice 'SÍ' si hay al menos una celda elegida entre el cuadrado de $3$ x $3$ comprobado. ¿Cuál es el número más pequeño de tales preguntas con las que el Oso puede obtener con certeza una respuesta afirmativa?

Demostrar que existen infinitos pares $(m,n)$ tales que $m+n$ divide a $(m!)^n+(n!)^m+1$

Sean $N,K,L$ puntos en $AB,BC,CA$ tales que $CN$ es bisectriz del ángulo $\angle ACB$ y $AL=BK$. Sea $BL\cap AK=P$. Si $I,J$ son los incentros de los triángulos $\triangle BPK$ y $\triangle ALP$ e $IJ\cap CN=Q$ demostrar que $IQ=JP$

Sean $\alpha,\beta,\gamma$ las medidas de los ángulos opuestos a los lados de un triángulo con medidas $a,b,c$ respectivamente. Demostrar que $$2(cos^2\alpha+cos^2\beta+cos^2\gamma)\geq \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}$$

Sea $f\colon\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ una función tal que para todos los enteros positivos $x$ e $y$ , el número $f(x)+y$ es un cuadrado perfecto si y sólo si $x+f(y)$ es un cuadrado perfecto. Pruebe que $f$ es inyectiva. Nota. Una función $f\colon\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ es inyectiva si para todos los pares $(x,y)$ de enteros positivos distintos, $f(x)\neq f(y)$ se cumple.

Sea $n$ un entero positivo. Sea $B_n$ el conjunto de todas las cadenas binarias de longitud $n$ . Para una cadena binaria $s_1\hdots s_n$ , definimos su giro de la siguiente manera. Primero, contamos cuántos bloques de dígitos consecutivos tiene. Denotamos este número por $b$ . Luego, reemplazamos $s_b$ con $1-s_b$ . Se dice que una cadena $a$ es descendiente de $b$ si $a$ se puede obtener de $b$ a través de un número finito de giros. Un subconjunto de $B_n$ se llama dividido si no dos de sus miembros tienen un descendiente común. Encuentre la cardinalidad más grande posible de un subconjunto dividido de $B_n$ . Nota. Aquí hay un ejemplo de un giro: $101100 \rightarrow 101000$ porque $1\mid 0\mid 11\mid 00$ tiene $4$ bloques de dígitos consecutivos.