Algunos estudiantes de la facultad hablan varios idiomas y otros solo ruso. $50$ de ellos saben inglés, $50$ francés y $50$ español. Demuestre que es posible dividirlos en $5$ grupos, no necesariamente iguales, para obtener $10$ de ellos que sepan inglés, $10$ francés y $10$ español en cada grupo.

374 Dados cuatro colores y suficientes placas cuadradas de $1\times 1$. Debemos pintar los cuatro bordes de cada placa con cuatro colores diferentes y combinar las placas, colocándolas con los bordes del mismo color juntos. Describa todos los pares $m,n$ tales que podamos combinar dichas placas en un rectángulo de $n\times m$ que tenga cada borde de un color, y sus cuatro bordes tengan colores diferentes.

175 Demuestre que un número de $9$ dígitos que contiene todos los dígitos decimales excepto el cero y no termina en $5$ no puede ser un cuadrado perfecto.

159 Dado un rectángulo $ABCD$, sean $M$ el punto medio del lado $[AD]$ y $N$ el punto medio del lado $[BC]$. Sea $P$ un punto en la prolongación del segmento $[DC]$ más allá del punto $D$. Denotemos el punto de intersección de las rectas $(PM)$ y $(AC)$ como $Q$. Demuestre que $\angle QNM= \angle MNP$.

177 Dado un ángulo con vértice $O$ y un círculo que toca sus lados en los puntos $A$ y $B$. Se traza un rayo desde el punto $A$ paralelo a $[OB)$. Este se interseca con la circunferencia en el punto $C$. El segmento $[OC]$ interseca la circunferencia en el punto $E$. Las líneas rectas $(AE)$ y $(OB)$ se intersecan en el punto $K$. Demuestre que $|OK| = |KB|$.

223 Los números naturales $x_1$ y $x_2$ son menores que $1000$. Construimos una sucesión: $$x_3 = |x_1 - x_2|$$ $$x_4 = min \{ |x_1 - x_2|, |x_1 - x_3|, |x_2 - x_3|\}$$ $$...$$ $$x_k = min \{ |x_i - x_j|, 0 <i < j < k\}$$ $$...$$ Demuestre que $x_{21} = 0$.

252 Sea $a_n$ el entero más cercano a $\sqrt n$. Encuentre la suma $$1/a_1 + 1/a_2 + ... + 1/a_{1980}$$

174 Catorce monedas son presentadas ante un juez. Un experto sabe que las monedas del número uno al siete son falsas, y del $8$ al $14$ son normales. El juez solo está seguro de que todas las monedas verdaderas tienen el mismo peso y todas las monedas falsas tienen pesos iguales entre sí, pero menores que el peso de las monedas verdaderas. El experto tiene una balanza de platillos sin pesas. a) El experto quiere demostrar que las monedas $1--7$ son falsas. ¿Cómo puede hacerlo en tres pesadas? b) ¿Cómo puede demostrar que las monedas $1--7$ son falsas y las monedas $8--14$ son verdaderas en tres pesadas?

132 Los dígitos del número de $17$ dígitos se reordenan en orden inverso. Demuestre que al menos un dígito de la suma del nuevo número y el número inicial es par.

161 Encuentre el $x$ máximo tal que la expresión $4^{27} + 4^{1000} + 4^x$ sea un cuadrado perfecto.