La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bigant146 111 publicaciones bigant146 #1 h 17 de mar. de 2018, 3:23 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, mxsail En un tablero de ajedrez de $8\times 8$ , se colocan $n>6$ caballos de tal manera que, para cualesquiera 6 caballos, hay dos caballos que se atacan entre sí. Encuentre el mayor valor posible de $n$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 11 de nov. de 2005, 12:51 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dado un entero inicial $ n_0 > 1$ , dos jugadores, $ {\mathcal A}$ y $ {\mathcal B}$ , eligen enteros $ n_1$ , $ n_2$ , $ n_3$ , $ \ldots$ alternadamente de acuerdo con las siguientes reglas: I.) Conociendo $ n_{2k}$ , $ {\mathcal A}$ elige cualquier entero $ n_{2k + 1}$ tal que \[ n_{2k} \leq n_{2k + 1} \leq n_{2k}^2. \] II.) Conociendo $ n_{2k + 1}$ , $ {\mathcal B}$ elige cualquier entero $ n_{2k + 2}$ tal que \[ \frac {n_{2k + 1}}{n_{2k + 2}} \] sea un número primo elevado a una potencia entera positiva. El jugador $ {\mathcal A}$ gana el juego al elegir el número 1990; el jugador $ {\mathcal B}$ gana al elegir el número 1. ¿Para qué $ n_0$ : a.) $ {\mathcal A}$ tiene una estrategia ganadora? b.) $ {\mathcal B}$ tiene una estrategia ganadora? c.) Ninguno de los jugadores tiene una estrategia ganadora? Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 15 de ago. de 2008, 11:16 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 15 de ago. de 2008, 12:59 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 En el plano cartesiano se da un rectángulo con vértices $ (0, 0),$ $ (m, 0),$ $ (0, n),$ $ (m, n)$ donde tanto $ m$ como $ n$ son enteros impares. El rectángulo está particionado en triángulos de tal manera que (i) cada triángulo en la partición tiene al menos un lado (al cual llamaremos lado "bueno") que yace sobre una recta de la forma $ x = j$ o $ y = k,$ donde $ j$ y $ k$ son enteros, y la altura sobre este lado tiene longitud 1; (ii) cada lado "malo" (es decir, un lado de cualquier triángulo en la partición que no sea un lado "bueno") es un lado común de dos triángulos en la partición. Demuestre que existen al menos dos triángulos en la partición, cada uno de los cuales tiene dos lados buenos. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 15 de ago. de 2008, 1:06 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sean $ a, b \in \mathbb{N}$ con $ 1 \leq a \leq b,$ y $ M = \left[\frac {a + b}{2} \right].$ Defina una función $ f: \mathbb{Z} \mapsto \mathbb{Z}$ mediante \[ f(n) = \begin{cases} n + a, & \text{si } n \leq M, \\ n - b, & \text{si } n >M. \end{cases} \] Sean $ f^1(n) = f(n),$ $ f_{i + 1}(n) = f(f^i(n)),$ $ i = 1, 2, \ldots$ Encuentre el número natural $ k$ más pequeño tal que $ f^k(0) = 0.$ Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Amir Hossein, 1 de mayo de 2018, 7:02 p. m. Razón: Se corrigió un error tipográfico menor. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Fermat -Euler 444 publicaciones Fermat -Euler #1 h 2 de nov. de 2005, 8:03 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Un plano corta un cono circular recto de volumen $ V$ en dos partes. El plano es tangente a la circunferencia de la base del cono y pasa por el punto medio de la altura. Encuentre el volumen de la parte más pequeña. Formulación original: Un plano corta un cono circular recto en dos partes. El plano es tangente a la circunferencia de la base del cono y pasa por el punto medio de la altura. Encuentre la razón entre el volumen de la parte más pequeña y el volumen del cono completo. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. liyi 1633 publicaciones liyi #1 h 26 de octubre de 2003, 6:55 a. m. • 3 Y Y por nguyendangkhoa17112003, Adventure10, Mango247 Un cuadrilátero convexo tiene diagonales iguales. Se construye un triángulo equilátero en el exterior de cada lado del cuadrilátero. Se unen los centros de los triángulos en los lados opuestos. Demuestre que las dos líneas de unión son perpendiculares. Formulación alternativa. Dado un cuadrilátero convexo $ ABCD$ con diagonales congruentes $ AC = BD.$ Se erigen externamente cuatro triángulos regulares sobre sus lados. Demuestre que los segmentos que unen los centroides de los triángulos en los lados opuestos son perpendiculares entre sí. Formulación original: Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $ AC = BD.$ Se construyen triángulos equiláteros sobre los lados del cuadrilátero. Sean $ O_1,O_2,O_3,O_4$ los centros de los triángulos construidos sobre $ AB,BC,CD,DA$ respectivamente. Demuestre que $ O_1O_3$ es perpendicular a $ O_2O_4.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 20 de enero de 2026, 5:45 PM Y por Sea $a = 1976$. ¿Para qué valores de $n$ el siguiente sistema de ecuaciones tiene solo la solución trivial $ \begin{cases}\cos^2\dfrac{a}{2} \cdot x_1 + \sin^2 \dfrac{a}{2} \cdot x_2 + \sin^2\dfrac{a}{2} \cdot x_3 + ...+\sin^2 \dfrac{a}{2} \cdot x_n = 0 \\ \cos^2a \cdot x_1 + \cos^2 a\cdot x_2 + \sin^2a \cdot x_3 + ...+\sin^2a \cdot x_n = 0 \\ \cos^2\dfrac{3a}{2} \cdot x_1 + \cos^2 \dfrac{3a}{2} \cdot x_2 + \cos^2\dfrac{3a}{2} \cdot x_3 + ... +\sin^2 \dfrac{3a}{2} \cdot x_n = 0 \\ ............................... \\ \cos^2\dfrac{na}{2} \cdot x_1 + \cos^2 \dfrac{na}{2} \cdot x_2 + \cos^2\dfrac{na}{2} \cdot x_3 + ...+ +\cos^2 \dfrac{na}{2} \cdot x_n = 0 \end{cases}$ Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 20 de enero de 2026, 5:59 PM Z K Y

Sea $ n \geq 3$ y considere un conjunto $ E$ de $ 2n - 1$ puntos distintos en un círculo. Suponga que exactamente $ k$ de estos puntos deben ser coloreados de negro. Tal coloración es buena si existe al menos un par de puntos negros tal que el interior de uno de los arcos entre ellos contenga exactamente $ n$ puntos de $ E$. Encuentre el valor más pequeño de $ k$ tal que toda coloración de este tipo de $ k$ puntos de $ E$ sea buena.

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 4 de oct. de 2010, 10:16 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(USS 3)$ $(a)$ Demuestre que si $0 \le a_0 \le a_1 \le a_2,$ entonces $(a_0 + a_1x - a_2x^2)^2 \le (a_0 + a_1 + a_2)^2\left(1 +\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{2}x^3+x^4\right)$ $(b)$ Formule y demuestre el resultado análogo para polinomios de tercer grado. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 1:43 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(FRA 5)$ Sea $\alpha(n)$ el número de pares $(x, y)$ de enteros tales que $x+y = n, 0 \le y \le x$, y sea $\beta(n)$ el número de ternas $(x, y, z)$ tales que $x + y + z = n$ y $0 \le z \le y \le x.$ Encuentre una relación simple entre $\alpha(n)$ y la parte entera del número $\frac{n+2}{2}$ y la relación entre $\beta(n), \beta(n -3)$ y $\alpha(n).$ Luego, evalúe $\beta(n)$ como una función del residuo de $n$ módulo $6.$ ¿Qué se puede decir acerca de $\beta(n)$ y $1+\frac{n(n+6)}{12}$? ¿Y qué hay de $\frac{(n+3)^2}{6}$? Encuentre el número de ternas $(x, y, z)$ con la propiedad $x+ y+ z \le n, 0 \le z \le y \le x$ como una función del residuo de $n$ módulo $6.$ ¿Qué se puede decir acerca de la relación entre este número y el número $\frac{(n+6)(2n^2+9n+12)}{72}$? Z K Y