La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 9:16 a. m. • 3 Y Y por Physimathematics, Feridimo, Adventure10 En el triángulo $ABC$, $O$ es el circuncentro, $H$ es el ortocentro. Construya los circuncircunferencias de los triángulos $CHB$, $CHA$ y $AHB$, y sean sus centros $A_1, B_1, C_1$, respectivamente. Demuestre que los triángulos $ABC$ y $A_1B_1C_1$ son congruentes, y que sus circunferencias de los nueve puntos coinciden. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 19 de sep. de 2010, 4:36 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Para cualquier permutación $p$ del conjunto $\{1, 2, \ldots, n\}$, defina $d(p) = |p(1) - 1| + |p(2) - 2| + \ldots + |p(n) - n|$. Denotemos por $i(p)$ el número de pares de enteros $(i, j)$ en la permutación $p$ tales que $1 \leqq i < j \leq n$ y $p(i) > p(j)$. Encuentre todos los números reales $c$ tales que la desigualdad $i(p) \leq c \cdot d(p)$ se cumpla para cualquier entero positivo $n$ y cualquier permutación $p.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 25 de mayo de 2024, 3:12 a. m. • 1 Y Y por mxsail En un pueblo griego de $100$ habitantes, al principio vivían $12$ olímpicos y $88$ humanos; ellos fueron la primera generación. Los olímpicos son $100\%$ dioses, mientras que los humanos son $0\%$ dioses. En cada generación formaban $50$ parejas y cada pareja tenía $2$ hijos, quienes forman la siguiente generación (que también consta de $100$ miembros). A partir de la segunda generación, el porcentaje de divinidad de cada persona es el promedio de los porcentajes de sus padres. (Por ejemplo, los hijos de padres con $25\%$ y $12.5\%$ de divinidad son $18.75\%$ dioses). a) ¿Cuál es la generación más temprana en la que es posible que haya tantos dioses al $100\%$ como humanos al $0\%$? b) ¿Como máximo, cuántos miembros de la quinta generación son al menos $25\%$ dioses? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 11:51 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Demuestre que $\sqrt 2 +\sqrt 3 +\sqrt{1990}$ es irracional. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 15 de ago. de 2008, 12:59 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 En el plano cartesiano se da un rectángulo con vértices $ (0, 0),$ $ (m, 0),$ $ (0, n),$ $ (m, n)$ donde tanto $ m$ como $ n$ son enteros impares. El rectángulo está particionado en triángulos de tal manera que (i) cada triángulo en la partición tiene al menos un lado (al cual llamaremos lado "bueno") que yace sobre una recta de la forma $ x = j$ o $ y = k,$ donde $ j$ y $ k$ son enteros, y la altura sobre este lado tiene longitud 1; (ii) cada lado "malo" (es decir, un lado de cualquier triángulo en la partición que no sea un lado "bueno") es un lado común de dos triángulos en la partición. Demuestre que existen al menos dos triángulos en la partición, cada uno de los cuales tiene dos lados buenos. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 12:06 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Para enteros positivos $n, p$ con $n \geq p$, defina el número real $K_{n, p}$ de la siguiente manera: $K_{n, 0} = \frac{1}{n+1}$ y $K_{n, p} = K_{n-1, p-1} -K_{n, p-1}$ para $1 \leq p \leq n.$ (i) Defina $S_n = \sum_{p=0}^n K_{n,p} , \ n = 0, 1, 2, \ldots$ . Encuentre $\lim_{n \to \infty} S_n.$ (ii) Encuentre $T_n = \sum_{p=0}^n (-1)^p K_{n,p} , \ n = 0, 1, 2, \ldots$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 11 de nov. de 2005, 12:51 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dado un entero inicial $ n_0 > 1$ , dos jugadores, $ {\mathcal A}$ y $ {\mathcal B}$ , eligen enteros $ n_1$ , $ n_2$ , $ n_3$ , $ \ldots$ alternadamente de acuerdo con las siguientes reglas: I.) Conociendo $ n_{2k}$ , $ {\mathcal A}$ elige cualquier entero $ n_{2k + 1}$ tal que \[ n_{2k} \leq n_{2k + 1} \leq n_{2k}^2. \] II.) Conociendo $ n_{2k + 1}$ , $ {\mathcal B}$ elige cualquier entero $ n_{2k + 2}$ tal que \[ \frac {n_{2k + 1}}{n_{2k + 2}} \] sea un número primo elevado a una potencia entera positiva. El jugador $ {\mathcal A}$ gana el juego eligiendo el número 1990; el jugador $ {\mathcal B}$ gana eligiendo el número 1. ¿Para qué $ n_0$ : a.) $ {\mathcal A}$ tiene una estrategia ganadora? b.) $ {\mathcal B}$ tiene una estrategia ganadora? c.) Ninguno de los jugadores tiene una estrategia ganadora? Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 15 de ago. de 2008, 11:16 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 10:22 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 La función $f(n), n \in \mathbb N$ , se define de la siguiente manera: Sea $\frac{(2n)!}{n!(n+1000)!} = \frac{A(n)}{B(n)}$ , donde $A(n), B(n)$ son enteros positivos coprimos; si $B(n) = 1$ , entonces $f(n) = 1$ ; si $B(n) \neq 1$ , entonces $f(n)$ es el mayor factor primo de $B(n)$ . Demuestre que los valores de $f(n)$ son finitos y encuentre el valor máximo de $f(n).$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. JuanDelPan 122 publicaciones JuanDelPan #1 h 30 de oct. de 2022, 3:38 p. m. • 1 Y Y por Mango247 Sea $ABC$ un triángulo, con $AB\neq AC$. Sean $O_1$ y $O_2$ los centros de los círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ con diámetros $AB$ y $BC$, respectivamente. Se elige un punto $P$ en el segmento $BC$ tal que $AP$ interseca a $\omega_1$ en el punto $Q$, con $Q\neq A$. Demuestre que $O_1$, $O_2$ y $Q$ son colineales si y solo si $AP$ es la bisectriz del ángulo $\angle BAC$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. N.T.TUAN 3595 publicaciones N.T.TUAN #1 h 19 de dic. de 2005, 7:33 p. m. • 2 Y Y por Adventure10 y otro usuario Sea S un conjunto de 1990 elementos y P un conjunto de sucesiones de 100 términos $(a_1,a_2,...,a_{100})$, donde los $a_i$ son elementos distintos de S. Se dice que un par ordenado (x,y) de elementos de S aparece en $(a_1,a_2,...,a_{100})$ si $x=a_i$ y $y=a_j$ para algunos i,j con $1\leq i<j\leq 100$. Suponga que cada par ordenado (x,y) de elementos de S aparece en a lo sumo un miembro de P. Demuestre que $|P|\leq 800$. Z K Y