La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 13 de sep. de 2010, 5:13 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Suponga que se dan $1985$ puntos dentro de un cubo unitario. Demuestre que siempre se pueden elegir $32$ de ellos de tal manera que todo polígono cerrado (posiblemente degenerado) que tenga estos puntos como vértices tenga una longitud total menor que $8 \sqrt 3.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Afternonz 24 publicaciones Afternonz #1 h 12 de feb. de 2023, 8:08 a. m. Y por Sean $a$ y $n$ enteros positivos tales que el máximo común divisor de $a$ y $n!$ es $1$. Demuestre que $n!$ divide a $a^{n!}-1$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. blackbluecar 309 publicaciones blackbluecar #1 h 12 de ago. de 2021, 4:02 p. m. Y por Sea $n \geq 3$ un entero y $a_1,a_2,...,a_n$ números reales positivos tales que $m$ es el menor y $M$ es el mayor de estos números. Se sabe que para cualesquiera enteros distintos $1 \leq i,j,k \leq n$, si $a_i \leq a_j \leq a_k$ entonces $a_ia_k \leq a_j^2$. Demuestre que \[ a_1a_2 \cdots a_n \geq m^2M^{n-2} \] y determine cuándo se cumple la igualdad Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. jbaca 225 publicaciones jbaca #1 h 11 de agosto de 2021, 3:02 PM • 2 Y Y por centslordm, jhu08 En una tabla que consiste en $2021\times 2021$ cuadrados unitarios, algunos cuadrados unitarios están coloreados de negro de tal manera que si colocamos un ratón en el centro de cualquier cuadrado de la tabla, este puede caminar en línea recta (arriba, abajo, izquierda o derecha a lo largo de una columna o fila) y salir de la tabla sin caminar sobre ningún cuadrado negro (aparte del inicial si es negro). ¿Cuál es el número máximo de cuadrados que pueden colorearse de negro? Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por jbaca, 11 de agosto de 2021, 6:02 PM Razón: Espaciado Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 13 de sep. de 2010, 5:26 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 En un país determinado, todos los habitantes son caballeros o bribones. Un caballero nunca miente; un bribón siempre miente. Nos encontramos con tres personas, $A, B$ y $C$. La persona $A$ dice: "Si $C$ es un caballero, $B$ es un bribón". La persona $C$ dice: "$A$ y yo somos diferentes; uno es un caballero y el otro es un bribón". ¿Quiénes son los caballeros y quiénes son los bribones? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Afternonz 24 publicaciones Afternonz #1 h 12 de feb. de 2023, 8:07 a. m. • 1 Y Y por Rounak_iitr Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes reales. Demuestre que no todas las raíces de $x^3P(x)+1$ son reales. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 19 de nov. de 2005, 6:04 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Para tres puntos $A,B,C$ en el plano, definimos $m(ABC)$ como la longitud más pequeña de las tres alturas del triángulo $ABC$, donde en el caso de que $A$, $B$, $C$ sean colineales, establecemos $m(ABC) = 0$. Sean $A$, $B$, $C$ puntos dados en el plano. Demuestre que para cualquier punto $X$ en el plano, \[ m(ABC) \leq m(ABX) + m(AXC) + m(XBC). \] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 10 de sep. de 2010, 4:20 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sea $K$ un conjunto convexo en el plano $xy$, simétrico con respecto al origen y con un área mayor que $4$. Demuestre que existe un punto $(m, n) \neq (0, 0)$ en $K$ tal que $m$ y $n$ son enteros. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 14 de sep. de 2010, 4:40 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 a) El sólido $S$ se define como la intersección de las seis esferas que tienen como diámetros las seis aristas de un tetraedro regular $T$, con longitud de arista $1$. Demuestre que $S$ contiene dos puntos a una distancia de $\frac{1}{\sqrt 6}.$ b) Utilizando los mismos supuestos que en a), demuestre que ningún par de puntos en $S$ tiene una distancia mayor que $\frac{1}{\sqrt 6}.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 13 de sep. de 2010, 4:26 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Determine si existen $100$ rectas distintas en el plano que tengan exactamente $1985$ puntos de intersección distintos Z K Y