La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Joao Pedro Santos 152 publicaciones Joao Pedro Santos #1 h 22 de julio de 2011, 10:13 a. m. • 4 Y Y por Epison11, Adventure10, Mango247, ehuseyinyigit Calcule la suma de la serie $\sum_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin^33^k}{3^k}$ . Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 13 de sep. de 2010, 5:13 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Suponga que se dan $1985$ puntos dentro de un cubo unitario. Demuestre que siempre se pueden elegir $32$ de ellos de tal manera que todo polígono cerrado (posiblemente degenerado) que tenga estos puntos como vértices tenga una longitud total menor que $8 \sqrt 3.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 13 de sep. de 2010, 3:58 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 a) Sea $M$ el conjunto de las longitudes de las aristas de un octaedro cuyas caras son cuadriláteros congruentes. Demuestre que $M$ tiene a lo sumo tres elementos. b) Sea dado un octaedro cuyas caras son cuadriláteros congruentes. Demuestre que cada uno de estos cuadriláteros tiene dos lados iguales que se encuentran en un vértice común. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 13 de sep. de 2010, 5:30 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Desde cada uno de los vértices de un $n$-ágono regular, un coche comienza a moverse con velocidad constante a lo largo del perímetro del $n$-ágono en la misma dirección. Demuestre que si todos los coches terminan en un vértice $A$ al mismo tiempo, entonces nunca vuelven a encontrarse en ningún otro vértice del $n$-ágono. ¿Pueden encontrarse de nuevo en $A$? Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 2:26 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $m$ cajas dadas, con algunas bolas en cada caja. Sea $n < m$ un entero dado. Se realiza la siguiente operación: elija $n$ de las cajas y coloque $1$ bola en cada una de ellas. Demuestre que: (a) Si $m$ y $n$ son primos entre sí, entonces es posible, realizando la operación un número finito de veces, llegar a la situación en la que todas las cajas contienen un número igual de bolas. (b) Si $m$ y $n$ no son primos entre sí, existen distribuciones iniciales de bolas en las cajas tales que no es posible lograr una distribución igualitaria. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. jbaca 225 publicaciones jbaca #1 h 11 de agosto de 2021, 2:49 PM • 1 Y Y por centslordm Sea $ABC$ un triángulo y sea $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. Sea $D$ un punto en $AB$ tal que $CD$ sea paralelo a la recta tangente a $\Gamma$ en $A$. Sea $E$ la intersección de $CD$ con $\Gamma$ distinta de $C$, y $F$ la intersección de $BC$ con la circunferencia circunscrita al $\bigtriangleup ADC$ distinta de $C$. Finalmente, sea $G$ la intersección de la recta $AB$ y la bisectriz interna del $\angle DCF$. Demuestre que $E,\ G,\ F$ y $C$ yacen sobre la misma circunferencia. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 13 de sep. de 2010, 4:05 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sean $E_1, E_2$ y $E_3$ tres elipses que se intersecan mutuamente, todas en el mismo plano. Sus focos son, respectivamente, $F_2, F_3; F_3, F_1$; y $F_1, F_2$. Los tres focos no están en una línea recta. Demuestre que las cuerdas comunes de cada par de elipses son concurrentes. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 13 de sep. de 2010, 5:48 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Demuestre que existen infinitos pares $(k,N)$ de enteros positivos tales que $1 + 2 + \cdots + k = (k + 1) + (k + 2)+\cdots + N.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. jbaca 225 publicaciones jbaca #1 h 12 de agosto de 2021, 4:23 PM • 4 Y Y por jhu08, centslordm, HWenslawski, Rounak_iitr Sea $ABC$ un triángulo con $AB<AC$ y sea $M$ el punto medio de $AC$. Se elige un punto $P$ (distinto de $B$) en el segmento $BC$ de tal manera que $AB=AP$. Sea $D$ la intersección de $AC$ con el circuncírculo de $\bigtriangleup ABP$ distinta de $A$, y sea $E$ la intersección de $PM$ con el circuncírculo de $\bigtriangleup ABP$ distinta de $P$. Sea $K$ la intersección de las rectas $AP$ y $DE$. Sea $F$ un punto en $BC$ (distinto de $P$) tal que $KP=KF$. Demuestre que $C, D, E$ y $F$ yacen sobre el mismo círculo. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por jbaca, 12 de agosto de 2021, 5:06 PM Razón: Error tipográfico Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 14 de sep. de 2010, 5:06 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $k \geq 2$ y $n_1, n_2, . . . , n_k \geq 1$ números naturales que tienen la propiedad $n_2 | 2^{n_1} - 1, n_3 | 2^{n_2} -1 , \cdots, n_k | 2^{n_k-1}-1$ , y $n_1 | 2^{n_k} - 1$ . Demuestre que $n_1 = n_2 = \cdots = n_k = 1.$ Z K Y