Sea $n>1$ un entero y sean $d_1<d_2<\cdots<d_m$ la lista completa de sus divisores positivos, incluidos $1$ y $n$. Los $m$ instrumentos de una orquesta matemática se disponen a tocar una pieza musical de $m$ segundos, donde el instrumento $i$ tocara una nota de tono $d_i$ durante $s_i$ segundos (no necesariamente consecutivos)., donde $d_i$ y $s_i$ son enteros positivos. Decimos que esta pieza tiene sonoridad $S=s_1+\cdots+s_m$.\n\nUn par de notas de tonos $a$ y $b$ son armónicas si $\frac{a}{b}$ o $\frac{b}{a}$ es un entero. Si cada instrumento toca al menos un segundo y cada par de notas que suenan al mismo tiempo son armónicas, demuestra que la máxima sonoridad posible de la pieza es un número compuesto.

Sea $ABC$ un triangulo acutangulo con $CA\neq CB$ y sean $\omega$ y $O$ su circuncirculo y circuncentro respectivamente. Las tangentes a $\omega$ por $A$ y por $B$ son $t_A$ y $t_B$ respectivamente, estas se cortan en $X$. Sea $Y$ el pie de la perpendicular de $O$ a $CX$. La linea paralela a $AB$ por $C$ corta a $t_A$ en $Z$. emuestra que la linea $YZ$ pasa por el punto medio de $AC$.

Sean $a,b$ y $n$ enteros positivos con $a>b$ tales que: i. $a^{2021}\mid n$, ii. $b^{2021}\mid n$, iii. $2022 \mid a-b$. Demuestra que hay un subconjunto $T$ de los divisores positivos de $n$ tales que la suma de los numeros en $T$ es divisible entre $2022$ pero no entre $2022^2$.

Encuentra todos los enteros $n\geq 3$, tales que existe un polígono convexo de $n$ lados $A_1A_2\cdots A_n$ que tenga las siguientes características: -Todos los ángulos internos de $A_1A_2\cdots A_n$ son iguales. -no todos los lados de $A_1A_2\cdots A_n$ son iguales, y -existe un triángulo $T$ y un punto $O$ en el interior de $A_1A_2\cdots A_n$ tal que los $n$ triángulos $OA_1A_2, OA_2A_3, \cdots, OA_nA_1$ son todos semejantes a $T$.

Encuentra todas las funciones $f: \mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+$ tales que $$f(x+f(x)+f(y))=2f(x)+y$$ para todos los reales positivos $x,y$.

Sea $a_1=2$ y para cada entero positivo $n$ se define a $a_{n+1}$ como el menor entero positivo mayor a $a_n$ tal que ademas tiene mas divisores que $a_n$. Demuestra que solo puede suceder $2a_{n+1}=3a_n$ para un numero finito de valores de $n$.

Sean $a,b,c$ numeros reales tales que $0\leq a\leq b\leq c$ y $a+b+c=ab+bc+ca>0$. Demuestra que $\sqrt{bc}(a+1)\geq 2$ y determina cuando se da la igualdad.

Encuentra todas las funciones $f:(0,\infty)\to (0,\infty)$ tales que $$f(y(f(x))^3+x)=x^3f(y)+f(x)$$ para todo $x,y>0$.

Sean $a,b$ y $c$ enteros positivos que satisfacen $$mcd(a,b)+mcm(a,b)=2021^c.$$ Si $|a-b|$ es un numero primo, demuestra que $(a+b)^2+4$ es un numero compuesto.

Sea $ABC$ un triangulo con $AB<AC$. Sea $\omega$ un circulo que pasa por $B,C$ y asume que $A$ esta dentro de $\omega$. Sean $X,Y$ puntos en $\omega$ tales que $\angle BXA=\angle AYC$. Ademas supon que $X$ y $X$ estan en lados opuestos de la linea $AB$, y que $Y$ y $B$ estan en lados opuestos de la linea $AC$. Demuestra que si $X,Y$ varian en $\omega$ la linea $XY$ pasa por un punto fijo.