La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 15 de enero de 2026, 4:46 PM Y por Encuentre todas las funciones $ f(x) $ tales que $f:\mathbb{R}\to(0,\infty) $ , la función es diferenciable en el punto $x=0 $ , y para todo $x,y\in\mathbb{R} $ , $$f(x+y)=f(x)^{2^y}\cdot f(y)^{2^x}.$$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:58 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ f(x) = \prod^n_{k=1} (x - a_k) - 2,$ donde $ n \geq 3$ y $ a_1, a_2, \ldots, a_n$ son enteros distintos. Suponga que $ f(x) = g(x)h(x),$ donde $ g(x)$ y $ h(x)$ son ambos polinomios no constantes con coeficientes enteros. Demuestre que $ n = 3.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. fprosk 681 publicaciones fprosk #1 h 17 de nov. de 2015, 2:11 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ABC$ un triángulo isósceles con base $AB$. Se construye un semicírculo $\Gamma$ con su centro en el segmento $AB$ y que es tangente a los dos lados, $AC$ y $BC$. Considere una recta tangente a $\Gamma$ que corta a los segmentos $AC$ y $BC$ en $D$ y $E$, respectivamente. La recta perpendicular a $AC$ en $D$ y la recta perpendicular a $BC$ en $E$ se intersecan en $P$. Sea $Q$ el pie de la perpendicular desde $P$ a $AB$. Demuestre que $\frac{PQ}{CP}=\frac{1}{2}\frac{AB}{AC}$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 8:49 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ ABC$ un triángulo equilátero con longitud de lado igual a $ N \in \mathbb{N}.$ Considere el conjunto $ S$ de todos los puntos $ M$ dentro del triángulo $ ABC$ que satisfacen \[ \overrightarrow{AM} = \frac{1}{N} \cdot \left(n \cdot \overrightarrow{AB} + m \cdot \overrightarrow{AC} \right)\] con $ m, n$ enteros, $ 0 \leq n \leq N,$ $ 0 \leq m \leq N$ y $ n + m \leq N.$ Cada punto de $ S$ está coloreado con uno de los tres colores azul, blanco, rojo de tal manera que (i) ningún punto de $ S \cap [AB]$ está coloreado de azul (ii) ningún punto de $ S \cap [AC]$ está coloreado de blanco (iii) ningún punto de $ S \cap [BC]$ está coloreado de rojo. Demuestre que existe un triángulo equilátero con las siguientes propiedades: (1) los tres vértices del triángulo son puntos de $ S$ y están coloreados de azul, blanco y rojo, respectivamente. (2) la longitud de los lados del triángulo es igual a 1. Variante: El mismo problema pero con un tetraedro regular y cuatro colores diferentes utilizados. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:35 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Las expresiones $ a + b + c, ab + ac + bc$ y $ abc$ se denominan expresiones simétricas elementales en las tres letras $ a, b, c;$ simétricas porque si intercambiamos dos letras cualesquiera, por ejemplo $ a$ y $ c,$ las expresiones permanecen algebraicamente iguales. El grado común de sus términos se denomina orden de la expresión. Sea $ S_k(n)$ la expresión elemental en $ k$ letras diferentes de orden $ n;$ por ejemplo $ S_4(3) = abc + abd + acd + bcd.$ Hay cuatro términos en $ S_4(3).$ ¿Cuántos términos hay en $ S_{9891}(1989)?$ (Suponga que tenemos $ 9891$ letras diferentes.) Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:41 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ (\log_2(x))^2 - 4 \cdot \log_2(x) - m^2 - 2m - 13 = 0$ una ecuación en $ x.$ Demuestre que: (a) Para cualquier valor real de $ m$ la ecuación tiene dos soluciones distintas. (b) El producto de las soluciones de la ecuación no depende de $ m.$ (c) Una de las soluciones de la ecuación es menor que 1, mientras que la otra solución es mayor que 1. Encuentre el valor mínimo de la solución mayor y el valor máximo de la solución menor. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:22 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Al conectar los vértices de un $n$-gono regular obtenemos un $n$-gono cerrado (no necesariamente convexo). Demuestre que si $n$ es par, entonces existen dos segmentos paralelos entre los segmentos de conexión y si $n$ es impar, entonces no puede haber exactamente dos segmentos paralelos. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:38 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dados dos números distintos $ b_1$ y $ b_2$ , su producto puede formarse de dos maneras: $ b_1 \times b_2$ y $ b_2 \times b_1.$ Dados tres números distintos, $ b_1, b_2, b_3,$ su producto puede formarse de doce maneras: $ b_1\times(b_2 \times b_3);$ $ (b_1 \times b_2) \times b_3;$ $ b_1 \times (b_3 \times b_2);$ $ (b_1 \times b_3) \times b_2;$ $ b_2 \times (b_1 \times b_3);$ $ (b_2 \times b_1) \times b_3;$ $ b_2 \times(b_3 \times b_1);$ $ (b_2 \times b_3)\times b_1;$ $ b_3 \times(b_1 \times b_2);$ $ (b_3 \times b_1)\times b_2;$ $ b_3 \times(b_2 \times b_1);$ $ (b_3 \times b_2) \times b_1.$ ¿De cuántas maneras puede formarse el producto de $ n$ letras distintas? Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:20 a. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, cubres Defina la sucesión $ (a_n)$ mediante $ \sum_{d|n} a_d = 2^n.$ Demuestre que $ n|a_n.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:55 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ t(n)$ para $ n = 3, 4, 5, \ldots,$ el número de triángulos distintos, no congruentes, de lados enteros cuyo perímetro es $ n;$ por ejemplo, $ t(3) = 1.$ Demuestre que \[ t(2n-1) - t(2n) = \left[ \frac{6}{n} \right] \text{ o } \left[ \frac{6}{n} + 1 \right].\] Z K Y