La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:07 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 En un triángulo $ ABC$ para el cual se cumple $ 6(a+b+c)r^2 = abc$ y donde $ r$ denota el inradio de $ ABC,$ consideramos un punto M en el círculo inscrito y las proyecciones $ D,E, F$ de $ M$ sobre los lados $ BC=a, AC=b,$ y $ AB=c$ respectivamente. Sean $ S, S_1$ las áreas de los triángulos $ ABC$ y $ DEF$ respectivamente. Encuentre los valores máximo y mínimo del cociente $ \frac{S}{S_1}$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:53 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Un cuadrilátero bicéntrico es aquel que es tanto inscribible en un círculo como circunscribible alrededor de uno, es decir, existen tanto el círculo inscrito como el círculo circunscrito. Demuestre que, para tal cuadrilátero, los centros de los dos círculos asociados son colineales con el punto de intersección de las diagonales. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:41 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ (\log_2(x))^2 - 4 \cdot \log_2(x) - m^2 - 2m - 13 = 0$ una ecuación en $ x.$ Demuestre que: (a) Para cualquier valor real de $ m$ la ecuación tiene dos soluciones distintas. (b) El producto de las soluciones de la ecuación no depende de $ m.$ (c) Una de las soluciones de la ecuación es menor que 1, mientras que la otra solución es mayor que 1. Encuentre el valor mínimo de la solución mayor y el valor máximo de la solución menor. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:56 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $ a, b, c, d,m, n \in \mathbb{Z}^+$ tales que \[ a^2+b^2+c^2+d^2 = 1989,\] \[ a+b+c+d = m^2,\] y el mayor de $ a, b, c, d$ es $ n^2.$ Determine, con demostración, los valores de $m$ y $ n.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:55 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ t(n)$ para $ n = 3, 4, 5, \ldots,$ el número de triángulos distintos, no congruentes, de lados enteros cuyo perímetro es $ n;$ por ejemplo, $ t(3) = 1.$ Demuestre que \[ t(2n-1) - t(2n) = \left[ \frac{6}{n} \right] \text{ o } \left[ \frac{6}{n} + 1 \right].\] Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Lukaluce 286 publicaciones Lukaluce #1 h 18 de mayo de 2025, 9:31 a. m. Y por ¿Existe una sucesión infinita de números primos $p_1, p_2, ..., p_n, ...,$ tal que para todo $i \in \mathbb{N}, p_{i + 1} \in \{2p_i - 1, 2p_i + 1\}$ se satisfaga? Explique la respuesta. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 19 de nov. de 2005, 4:58 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que los lados $ AB, AD, BC$ satisfacen $ AB = AD + BC.$ Existe un punto $ P$ dentro del cuadrilátero a una distancia $ h$ de la recta $ CD$ tal que $ AP = h + AD$ y $ BP = h + BC.$ Demuestre que: \[ \frac {1}{\sqrt {h}} \geq \frac {1}{\sqrt {AD}} + \frac {1}{\sqrt {BC}} \] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 10:35 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Se escribe un número natural en cada casilla de un tablero de ajedrez de $ m \times n$. El movimiento permitido consiste en sumar un entero $ k$ a cada uno de dos números adyacentes de tal manera que se obtengan números no negativos. (Dos casillas son adyacentes si tienen un lado en común). Encuentre una condición necesaria y suficiente para que sea posible que todos los números sean cero después de un número finito de operaciones. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:33 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $ A$ y $ B$ puntos distintos fijos en el eje $ X$, ninguno de los cuales coincide con el origen $ O(0, 0),$ y sea $ C$ un punto en el eje $ Y$ de un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales. Sea $ g$ una recta que pasa por el origen $ O(0, 0)$ y es perpendicular a la recta $ AC.$ Encuentre el lugar geométrico del punto de intersección de las rectas $ g$ y $ BC$ si $ C$ varía a lo largo del eje $ Y.$ Dé una ecuación y una descripción del lugar geométrico. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 8:21 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ n \leq 44, n \in \mathbb{N}.$ Demuestre que para cualquier función $ f$ definida sobre $ \mathbb{N}^2$ cuyas imágenes están en el conjunto $ \{1, 2, \ldots , n\},$ existen cuatro pares ordenados $ (i, j), (i, k), (l, j),$ y $ (l, k)$ tales que \[ f(i, j) = f(i, k) = f(l, j) = f(l, k),\] en los cuales $ i, j, k, l$ son elegidos de tal manera que existen números naturales $ m, p$ que satisfacen \[ 1989m \leq i < l < 1989 + 1989m\] y \[ 1989p \leq j < k < 1989 + 1989p.\] Z K Y