La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. fprosk 681 publicaciones fprosk #1 h 17 de nov. de 2015, 2:06 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $P$ un punto en el interior del triángulo $ABC$. Sean $X$, $Y$ y $Z$ puntos en los lados $BC$, $AC$ y $AB$ respectivamente, tales que $\angle PXC = \angle PYA = \angle PZB$. Sean $U$, $V$ y $W$ puntos en los lados $BC$, $AC$ y $AB$, respectivamente, o en sus extensiones si fuera necesario, con $X$ entre $B$ y $U$, $Y$ entre $C$ y $V$, y $Z$ entre $A$ y $W$, tales que $PU=2PX$, $PV=2PY$ y $PW=2PZ$. Si el área del triángulo $XYZ$ es $1$, encuentre el área del triángulo $UVW$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 10:35 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Se escribe un número natural en cada casilla de un tablero de ajedrez de $ m \times n$. El movimiento permitido consiste en sumar un entero $ k$ a cada uno de dos números adyacentes de tal manera que se obtengan números no negativos. (Dos casillas son adyacentes si tienen un lado en común). Encuentre una condición necesaria y suficiente para que sea posible que todos los números sean cero después de un número finito de operaciones. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:07 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 En un triángulo $ ABC$ para el cual se cumple $ 6(a+b+c)r^2 = abc$ y donde $ r$ denota el inradio de $ ABC,$ consideramos un punto M en el círculo inscrito y las proyecciones $ D,E, F$ de $ M$ sobre los lados $ BC=a, AC=b,$ y $ AB=c$ respectivamente. Sean $ S, S_1$ las áreas de los triángulos $ ABC$ y $ DEF$ respectivamente. Encuentre los valores máximo y mínimo del cociente $ \frac{S}{S_1}$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 8:39 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Hay algunos niños y niñas sentados en una matriz cuadrática de $ n \times n$. Conocemos el número de niñas en cada columna y fila y en cada línea paralela a las diagonales de la matriz. ¿Para qué $ n$ es esta información suficiente para determinar las posiciones exactas de las niñas en la matriz? ¿Para qué asientos podemos afirmar con seguridad si hay una niña sentada allí o no? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:35 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Las expresiones $ a + b + c, ab + ac + bc$ y $ abc$ se denominan expresiones simétricas elementales en las tres letras $ a, b, c;$ simétricas porque si intercambiamos dos letras cualesquiera, por ejemplo $ a$ y $ c,$ las expresiones permanecen algebraicamente iguales. El grado común de sus términos se denomina orden de la expresión. Sea $ S_k(n)$ la expresión elemental en $ k$ letras diferentes de orden $ n;$ por ejemplo $ S_4(3) = abc + abd + acd + bcd.$ Hay cuatro términos en $ S_4(3).$ ¿Cuántos términos hay en $ S_{9891}(1989)?$ (Suponga que tenemos $ 9891$ letras diferentes.) Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 10:25 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Se da un $n$-ágono regular $A_1A_2A_3 \cdots A_k \cdots A_n$ inscrito en un círculo de radio $R$. Si $S$ es un punto en el círculo, calcule \[ T = \sum^n_{k=1} SA^2_k.\] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:43 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ S$ el punto de intersección de las dos rectas $ l_1 : 7x - 5y + 8 = 0$ y $ l_2 : 3x + 4y - 13 = 0.$ Sean $ P = (3, 7), Q = (11, 13),$ y sean $ A$ y $ B$ puntos en la recta $ PQ$ tales que $ P$ está entre $ A$ y $ Q,$ y $ B$ está entre $ P$ y $ Q,$ y tales que \[ \frac{PA}{AQ} = \frac{PB}{BQ} = \frac{2}{3}.\] Sin hallar las coordenadas de $ B,$ encuentre las ecuaciones de las rectas $ SA$ y $ SB.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:41 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ (\log_2(x))^2 - 4 \cdot \log_2(x) - m^2 - 2m - 13 = 0$ una ecuación en $ x.$ Demuestre que: (a) Para cualquier valor real de $ m$ la ecuación tiene dos soluciones distintas. (b) El producto de las soluciones de la ecuación no depende de $ m.$ (c) Una de las soluciones de la ecuación es menor que 1, mientras que la otra solución es mayor que 1. Encuentre el valor mínimo de la solución mayor y el valor máximo de la solución menor. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 8:01 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Ali Barber, el vendedor de alfombras, tiene una pieza rectangular de alfombra cuyas dimensiones son desconocidas. Desafortunadamente, su cinta métrica está rota y no tiene otros instrumentos de medición. Sin embargo, descubre que si la coloca plana sobre el suelo de cualquiera de sus almacenes, entonces cada esquina de la alfombra toca una pared diferente de esa habitación. Él sabe que los lados de la alfombra son números enteros de pies y que sus dos almacenes tienen la misma longitud (desconocida), pero anchos de 38 pies y 50 pies respectivamente. ¿Cuáles son las dimensiones de la alfombra? Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 10:27 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dados siete puntos en el plano, algunos de ellos están conectados por segmentos tales que: (i) entre cualesquiera tres de los puntos dados, dos están conectados por un segmento; (ii) el número de segmentos es mínimo. ¿Cuántos segmentos tiene una figura que satisface (i) y (ii)? Dé un ejemplo de dicha figura. Z K Y