La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. syk0526 202 publicaciones syk0526 #1 h 2 de abril de 2012, 10:11 a. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, DC93 Sea $ n $ un entero mayor o igual a $ 2 $ . Demuestre que si los números reales $ a_1 , a_2 , \cdots , a_n $ satisfacen $ a_1 ^2 + a_2 ^2 + \cdots + a_n ^ 2 = n $ , entonces \[\sum_{1 \le i < j \le n} \frac{1}{n- a_i a_j} \le \frac{n}{2} \] debe cumplirse. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por syk0526, 4 de abril de 2012, 1:47 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Wolowizard 617 publicaciones Wolowizard #1 h 7 de sep. de 2016, 4:13 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $r(x)$ un polinomio de grado impar con coeficientes reales. Demuestre que existen solo un número finito (o ninguno) de pares de polinomios $p(x)$ y $q(x)$ con coeficientes reales que satisfacen la ecuación $(p(x))^3 + q(x^2) = r(x)$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Amir Hossein, 10 de mayo de 2018, 5:11 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 14 de oct. de 2017, 3:04 p. m. • 3 Y Y por r0518, Adventure10, Mango247 Si para los números reales $x, y, z, k$ se cumplen las siguientes condiciones, $x \ne y \ne z \ne x$ y $x^3 +y^3 +k(x^2 +y^2) = y^3 +z^3 +k(y^2 +z^2) = z^3 +x^3 +k(z^2 +x^2) = 2008$ , encuentre el producto $xyz$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. TheLastHatter 16 publicaciones TheLastHatter #1 h 7 de dic. de 2025, 9:49 a. m. • 1 Y Y por LHE96 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno donde $BC$ es el lado más pequeño. Los puntos $D$ y $E$ se encuentran en los segmentos $AB$ y $AC$, respectivamente, satisfaciendo $AD = DC$ y $AE = EB$. Sean $B'$ y $C'$ las reflexiones de $B$ y $C$ con respecto a $DE$. Las rectas $AB'$ y $AC'$ cortan la recta $BC$ en $F$ y $G$, respectivamente. Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $ADF$ y $AEG$ son tangentes.

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. TheLastHatter 16 publicaciones TheLastHatter #1 h 7 de dic. de 2025, 10:54 a. m. Y Antonio y Nelson juegan un juego por turnos en un tablero de $45$ x $45$. Al inicio, todas las celdas están en blanco. Antonio juega en los turnos impares, comenzando por el turno $k=1$, y Nelson juega en los turnos pares. En el turno $k$, el jugador debe elegir un subtablero de $k$ x $k$ sin celdas negras y pintar exactamente una de ellas. El jugador que no pueda realizar su movimiento en su turno pierde. Proporcione una estrategia ganadora para uno de los jugadores. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por TheLastHatter, 7 de dic. de 2025, 11:21 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 10 de octubre de 2017, 11:23 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, mathbetter Considere $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB \ne AC$. Denotemos por $M$ el punto medio de $BC$, por $D, E$ los pies de las alturas desde $B, C$ respectivamente y sea $P$ el punto de intersección de las rectas $DE$ y $BC$. La perpendicular desde $M$ a $AC$ se encuentra con la perpendicular desde $C$ a $BC$ en el punto $R$. Demuestre que las rectas $PR$ y $AM$ son perpendiculares. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. eduD_looC 6616 publicaciones eduD_looC #1 h 10 de marzo de 2023, 7:26 PM Y William está pensando en un entero entre 1 y 50, inclusive. Victor puede elegir un entero positivo $m$ y preguntarle a William: "¿divide $m$ a tu número?", a lo cual William debe responder con la verdad. Victor continúa haciendo estas preguntas hasta que determina el número de William. ¿Cuál es el número mínimo de preguntas que Victor necesita para garantizar esto? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 13 de oct. de 2010, 10:59 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Se da el triángulo $ABC$ para el cual $BC = AC + \frac{1}{2}AB$. El punto $P$ divide a $AB$ tal que $BP : PA = 1 : 3$. Demuestre que $\angle CAP = 2\angle CPA$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. danepale 99 publicaciones danepale #1 h 24 de ago. de 2016, 8:23 a. m. • 3 Y Y por Davi-8191, Adventure10, Mango247 Sea $n \ge 2$ un entero, y sean $x_1, x_2, \ldots, x_n$ números reales para los cuales: (a) $x_j > -1$ para $j = 1, 2, \ldots, n$ y (b) $x_1 + x_2 + \ldots + x_n = n.$ Demuestre que $$ \sum_{j = 1}^{n} \frac{1}{1 + x_j} \ge \sum_{j = 1}^{n} \frac{x_j}{1 + x_j^2} $$ y determine cuándo ocurre la igualdad. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Ahiles 374 publicaciones Ahiles #1 h 25 de junio de 2008, 6:42 a. m. • 4 Y Y por centslordm, megarnie, Adventure10 y otro usuario Encuentre todos los números reales $ a,b,c,d$ tales que \[ \left\{\begin{array}{cc}a + b + c + d = 20, \\ ab + ac + ad + bc + bd + cd = 150. \end{array} \right.\] Z K Y