La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 14 de octubre de 2017, 3:20 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Demuestre que $(x + y + z) \big(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\big) \ge 4 \big(\frac{x}{xy+1}+\frac{y}{yz+1}+\frac{z}{zx+1}\big)^2$ , para todos los números reales positivos $x, y $ y $z$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. danepale 99 publicaciones danepale #1 h 25 de ago. de 2016, 9:22 a. m. • 3 Y Y por pisgood, Adventure10, Mango247 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo para el cual $AB \neq AC$, y sea $O$ su circuncentro. La recta $AO$ corta al circuncírculo de $ABC$ nuevamente en $D$, y a la recta $BC$ en $E$. El circuncírculo de $CDE$ corta a la recta $CA$ nuevamente en $P$. Las rectas $PE$ y $AB$ se intersecan en $Q$. La recta que pasa por $O$ paralela a la recta $PE$ interseca a la $A$-altura de $ABC$ en $F$. Demuestre que $FP = FQ$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 31 de agosto de 2024, 7:03 PM • 1 Y Y por XX-math-XX Todos los números de $10$ dígitos que consisten en los dígitos $1, 2$ y $3$ están escritos uno debajo del otro. A cada número se le añade un dígito más a la derecha, $1, 2$ o $3$, y resultó que al número $111. . . 11$ se le añadió $1$, al número $222. . . 22$ se le asignó $2$, y al número $333. . . 33$ se le asignó $3$. Se sabe que cualesquiera dos números que difieren en todos sus diez dígitos tienen asignados dígitos diferentes. Demuestre que la columna de números asignada coincide con una de las diez columnas escritas anteriormente. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por parmenides51, 31 de agosto de 2024, 10:27 PM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 10 de oct. de 2010, 11:49 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Los lados opuestos del hexágono reentrante $AFBDCE$ se cortan en los puntos $K,L,M$ (como se muestra en la figura). Se da que $AL = AM = a, BM = BK = b$ , $CK = CL = c, LD = DM = d, ME = EK = e, FK = FL = f$ . //cdn.artofproblemsolving.com/images/fad76261a0d1316c87c556c7b67ffd6d94dfec56.png $(a)$ Dada la longitud $a$ y los tres ángulos $\alpha, \beta$ y $\gamma$ en los vértices $A, B,$ y $C,$ respectivamente, que satisfacen la condición $\alpha+\beta+\gamma<180^{\circ}$ , demuestre que todos los ángulos y lados del hexágono quedan unívocamente determinados. $(b)$ Demuestre que \[\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{1}{b}+\frac{1}{d}\] Versión más sencilla de $(b)$ . Demuestre que \[(a + f)(b + d)(c + e)= (a + e)(b + f)(c + d)\] Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Wolowizard 617 publicaciones Wolowizard #1 h 7 de sep. de 2016, 4:13 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $r(x)$ un polinomio de grado impar con coeficientes reales. Demuestre que existen solo un número finito (o ninguno) de pares de polinomios $p(x)$ y $q(x)$ con coeficientes reales que satisfacen la ecuación $(p(x))^3 + q(x^2) = r(x)$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Amir Hossein, 10 de mayo de 2018, 5:11 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. TheLastHatter 16 publicaciones TheLastHatter #1 h 7 de dic. de 2025, 9:49 a. m. • 1 Y Y por LHE96 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno donde $BC$ es el lado más pequeño. Los puntos $D$ y $E$ se encuentran en los segmentos $AB$ y $AC$, respectivamente, satisfaciendo $AD = DC$ y $AE = EB$. Sean $B'$ y $C'$ las reflexiones de $B$ y $C$ con respecto a $DE$. Las rectas $AB'$ y $AC'$ cortan la recta $BC$ en $F$ y $G$, respectivamente. Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $ADF$ y $AEG$ son tangentes.

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. TheLastHatter 16 publicaciones TheLastHatter #1 h 6 de dic. de 2025, 9:50 a. m. • 1 Y Y por bin_sherlo Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$ y sea $P$ un punto en el plano. La recta $AP$ interseca a la mediatriz de $BC$ en el punto $A'$. Los puntos $B'$ y $C'$ se definen de manera análoga. Suponga que $A, B, C, P, A', B', C', O$ son puntos distintos. Demuestre que los circuncircunferencias de los triángulos $AA'O, BB'O$ y $CC'O$ concurren en un punto distinto de $O$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por TheLastHatter, 6 de dic. de 2025, 9:50 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 12 de oct. de 2010, 12:37 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $f_1(x) = x^3+a_1x^2+b_1x+c_1 = 0$ una ecuación con tres raíces positivas $\alpha>\beta>\gamma > 0$. A partir de la ecuación $f_1(x) = 0$, se construye la ecuación $f_2(x) = x^3 +a_2x^2 +b_2x+c_2 = x(x+b_1)^2 -(a_1x+c_1)^2 = 0$. Continuando este proceso, obtenemos las ecuaciones $f_3,\cdots, f_n$. Demuestre que \[\lim_{n\to\infty}\sqrt[2^{n-1}]{-a_n} = \alpha\] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 13 de oct. de 2010, 10:56 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Determine los enteros positivos $p, q$ y $r$ tales que la diagonal de un bloque que consiste en cubos unitarios de $p\times q\times r$ pase exactamente a través de $1984$ de los cubos unitarios, mientras que su longitud sea mínima. (Se dice que la diagonal pasa a través de un cubo unitario si tiene más de un punto en común con el cubo unitario.) Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Orestis_Lignos 560 publicaciones Orestis_Lignos #1 h 28 de junio de 2024, 12:14 a. m. Y por Hay $n$ bloques colocados en los cuadrados unitarios de un tablero de ajedrez de $n \times n$ de tal manera que hay exactamente un bloque en cada fila y cada columna. Encuentre el valor máximo $k$, en términos de $n$, tal que independientemente de cómo estén dispuestos los bloques, podamos colocar $k$ torres en el tablero sin que ninguna de ellas amenace a otra. (Dos torres no se amenazan entre sí si hay un bloque situado entre ellas.) Z K Y