13 Sea $n\geq 3$ y $A_1,A_2,\ldots,A_n$ puntos en un círculo. Encuentre el mayor número de triángulos acutángulos que pueden considerarse con vértices en estos puntos. G. Eckstein Valentin

9 Una computadora genera los valores de la expresión $(n+1) \cdot 2^n$ para $n = 1, n = 2, n = 3$, etc. ¿Cuál es el mayor número de valores consecutivos que son cuadrados perfectos?

46 Sean $a,b,c$ números reales y \[f(a, b, c) = \left| \frac{ |b-a|}{|ab|} +\frac{b+a}{ab} -\frac 2c \right| +\frac{ |b-a|}{|ab|} +\frac{b+a}{ab} +\frac 2c\] Demuestre que $f(a, b, c) = 4 \max \{\frac 1a, \frac 1b,\frac 1c \}.$ Amir

60 Demuestre que la suma de las distancias de los vértices de un tetraedro regular al centro de su esfera circunscrita es menor que la suma de las distancias de estos vértices a cualquier otro punto en el espacio.

8 Determine todos los pares $(m,n)$ de enteros positivos para los cuales $2^{m} + 3^{n}$ es un cuadrado perfecto.

9 Sean $A_1, A_2, \ldots, A_n$ los vértices de un polígono regular de $n$ lados. Si $\frac{1}{A_1 A_2} = \frac{1}{A_1 A_3} + \frac{1}{A_1A_4}$, encuentre $n$.

7 Resuelva el siguiente sistema para $x,y,z$ reales: \[ \left\{ \begin{array}{ccc} x+ y -z & =& 4 \\ x^2 - y^2 + z^2 & = & -4 \\ xyz & =& 6. \end{array} \right. \]

9 El triángulo $ABC$ tiene un incentro $I$ y su incírculo toca el lado $BC$ en $T$. La recta que pasa por $T$ y es paralela a $IA$ corta al incírculo nuevamente en $S$, y la tangente al incírculo en $S$ corta a $AB$ y $AC$ en los puntos $C'$ y $B'$, respectivamente. Demuestre que el triángulo $AB'C'$ es semejante al triángulo $ABC$.

10 Para cualquier entero positivo $n$, sea $s(n)$ el número de pares ordenados $(x,y)$ de enteros positivos para los cuales $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{n}$. Determine el conjunto de enteros positivos para los cuales $s(n) = 5$.

8 Un río fluye entre dos casas $ A$ y $ B$, las cuales se encuentran a ciertas distancias de las orillas. ¿Dónde debería construirse un puente sobre el río para que una persona que va de $ A$ a $ B$, utilizando el puente para cruzar el río, pueda hacerlo por el camino más corto? Suponga que las orillas del río son rectas y paralelas, y que el puente debe ser perpendicular a las orillas.