La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. User335559 472 publicaciones User335559 #1 h 1 de abril de 2017, 8:49 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dado un entero positivo aleatorio $N$. Demuestre que existen infinitos enteros positivos $M$ tales que ninguno de sus dígitos es $0$ y tales que la suma de los dígitos de $N \cdot M$ es igual a la suma de los dígitos de $M$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. M4RI0 639 publicaciones M4RI0 #1 h 22 de mayo de 2006, 8:56 PM • 1 Y Y por Adventure10 Demuestre que no existen enteros positivos $x$ e $y$ tales que $x^2+y+2$ e $y^2+4x$ sean cuadrados perfectos Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. User335559 472 publicaciones User335559 #1 h 1 de abril de 2017, 9:10 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 El incírculo del $ \triangle A_{0}B_{0}C_{0}$ toca los lados $B_{0}C_{0}$ , $C_{0}A_{0}$ , $A_{0}B_{0}$ , respectivamente en los puntos $A$ , $B$ , $C$ , y el incírculo del $ \triangle ABC$ , con centro $I$ , toca los lados $BC$ , $CA$ , $AB$ , en los puntos $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ , respectivamente. Denotamos con $ \sigma (ABC)$ y $ \sigma (A_{1}B_{1}C_{1})$ las áreas del $ \triangle ABC$ y del $ \triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ respectivamente. Demuestre que si $ \sigma (ABC)=2 \sigma (A_{1}B_{1}C_{1})$ , entonces las rectas $AA_{0}$ , $BB_{0}$ , $CC_{0}$ son concurrentes. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Iveela 177 publicaciones Iveela #1 h 11 de oct. de 2025, 7:53 a. m. Y por Sea $ABC$ un triángulo escaleno con incentro $I$ y circuncírculo $\omega$. El rayo $AI$ corta a $\omega$ nuevamente en $M$. Suponga que $P$ es la reflexión de $I$ en la recta $BC$. Sea $Q$ el punto en el arco menor $AM$ de $\omega$ tal que $\angle AQP = 90^{\circ}$. Las rectas $IP$ y $BC$ se cortan en $D$. Si la recta $QD$ corta a $\omega$ nuevamente en $N$, demuestre que $IM = IN$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Iveela, 11 de oct. de 2025, 7:54 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. augustin_p 170 publicaciones augustin_p #1 h 4 de feb. de 2023, 10:42 a. m. Y por Encuentre todas las ternas de números primos $(m, n, p)$ que satisfacen el sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix} 2m-n+13p=2072,\\3m+11n+13p=2961.\end{matrix}\right.$$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. augustin_p 170 publicaciones augustin_p #1 h 4 de feb. de 2023, 10:32 a. m. • 1 Y Y por rightways Los enteros $a, b, c, d$ satisfacen $a+b+c+d=0$. Demuestre que $$n=(ab-cd)\cdot(bc-ad)\cdot(ca-bd)$$ es un cuadrado perfecto. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. ComplexPhi 455 publicaciones ComplexPhi #1 h 4 de feb. de 2015, 10:08 a. m. • 2 Y Y por Adventure10 y otro usuario Sea $O_1$ un punto en el exterior del círculo $\omega$ de centro $O$ y radio $R$, y sean $O_1N$, $O_1D$ los segmentos tangentes desde $O_1$ al círculo. En el segmento $O_1N$ considere el punto $B$ tal que $BN=R$. Sea la recta que pasa por $B$ paralela a $ON$ que interseca al segmento $O_1D$ en $C$. Si $A$ es un punto en el segmento $O_1D$ distinto de $C$ tal que $BC=BA=a$, y si el incírculo del triángulo $ABC$ tiene radio $r$, entonces encuentre el área del $\triangle ABC$ en términos de $a, R, r$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. AlanLG 241 publicaciones AlanLG #1 h 1 de dic. de 2022, 12:03 a. m. Y Esteban el alquimista tiene $8088$ piezas de cobre, $6066$ piezas de bronce, $4044$ piezas de plata y $2022$ piezas de oro. Él puede tomar dos piezas de metales diferentes y usar un martillo mágico para convertirlas en dos piezas de metales diferentes a las que tomó y diferentes entre sí. Encuentre el mayor número de piezas de oro que Esteban puede obtener después de usar el martillo mágico un número finito de veces. $\textbf{Nota:}$ Si Esteban toma una pieza de cobre y una de bronce, entonces las convierte en una pieza de plata y una de oro. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Malik 37 publicaciones Malik #1 h 5 de abr. de 2013, 3:35 a. m. • 2 Y Y por RobaAl-Dhaheri, Adventure10 Sean $a_1,a_2,\ldots,a_{2n}$ números reales positivos tales que $a_ja_{n+j}=1$ para los valores $j=1,2,\ldots,n$. a. Demuestre que el promedio de los números $a_1,a_2,\ldots,a_n$ es al menos 1 o el promedio de los números $a_{n+1},a_{n+2},\ldots,a_{2n}$ es al menos 1. b. Suponiendo que $n\ge2$, demuestre que existen dos números distintos $j,k$ en el conjunto $\{1,2,\ldots,2n\}$ tales que \[|a_j-a_k|<\frac{1}{n-1}.\] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Ene 606 publicaciones Ene #1 h 1 de nov. de 2006, 2:51 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $a,b,c$ números positivos tales que $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}= \frac{\sqrt{3}}{2}$. Demuestre que el sistema de ecuaciones \[\sqrt{y-a}+\sqrt{z-a}=1\] \[\sqrt{z-b}+\sqrt{x-b}=1\] \[\sqrt{x-c}+\sqrt{y-c}=1\] tiene exactamente una solución $(x,y,z)$ en números reales. Fue propuesto por Polonia. ¡Diviértanse! :lol: Z K Y