La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Malik 37 publicaciones Malik #1 h 5 de abr. de 2013, 3:52 a. m. • 4 Y Y por Adventure10 y otros 3 usuarios Hay $n$ personas de pie en una pista circular. Queremos realizar una serie de movimientos de modo que terminemos en una situación donde la distancia entre cada dos vecinos sea la misma. El movimiento permitido consiste en seleccionar a dos personas y pedir a una de ellas que camine una distancia $d$ en la pista circular en sentido horario, y pedir a la otra que camine la misma distancia en la pista en sentido antihorario. Las dos personas seleccionadas y la cantidad $d$ pueden variar de un movimiento a otro. Demuestre que es posible alcanzar la situación deseada (donde la distancia entre cada dos vecinos es la misma) después de, como máximo, $n-1$ movimientos. Z K Y

Para un entero positivo dado $n$, determine el menor entero $k$ tal que sea posible colocar los números $1, 2, 3, \dots, 2n$ alrededor de un círculo de modo que la suma de cada $n$ números consecutivos tome uno de a lo sumo $k$ valores.

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. M4RI0 639 publicaciones M4RI0 #1 h 22 de mayo de 2006, 8:56 PM • 1 Y Y por Adventure10 Demuestre que no existen enteros positivos $x$ e $y$ tales que $x^2+y+2$ e $y^2+4x$ sean cuadrados perfectos Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 13 de oct. de 2010, 10:24 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $a, b, c$ enteros no negativos tales que $a \le b \le c, 2b \neq a + c$ y $\frac{a+b+c}{3}$ es un entero. ¿Es posible encontrar tres enteros no negativos $d, e$ y $f$ tales que $d \le e \le f, f \neq c$ y tales que $a^2+b^2+c^2 = d^2 + e^2 + f^2$? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. NO_SQUARES 1164 publicaciones NO_SQUARES #1 h 13 de mayo de 2025, 1:31 PM Y por Hay una moneda de rublo en cada casilla de un tablero de $2\times 200$. Dasha y Sonya juegan, turnándose para realizar movimientos, Dasha comienza. En un movimiento, está permitido seleccionar cualquier moneda y moverla: Dasha mueve la moneda a una casilla diagonalmente adyacente, Sonya a una casilla adyacente por el lado. Si dos monedas terminan en la misma casilla, una de ellas es eliminada inmediatamente del tablero y pasa a manos de Sonya. Sonya puede detener el juego en cualquier momento y tomar todas las monedas que ha recibido. ¿Cuál es la mayor ganancia que puede obtener, sin importar cómo juegue Dasha? A. Kuznetsov Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Abril 1270 publicaciones Abril #1 h 27 de octubre de 2008, 11:58 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Demuestre que: \[ \frac{1989}{2}-\frac{1988}{3}+\frac{1987}{4}-\cdots-\frac{2}{1989}+\frac{1}{1990}=\frac{1}{996}+\frac{3}{997}+\frac{5}{998}+\cdots+\frac{1989}{1990}\] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. falantrng 252 publicaciones falantrng #1 h 27 de abr. de 2025, 5:47 a. m. • 8 Y Y por farhad.fritl, Frd_19_Hsnzde, ehuseyinyigit, pomodor_ap, Nuran2010, Rounak_iitr, user4747, cubres En un triángulo acutángulo \(ABC\), sea \(H\) su ortocentro y \(D\) cualquier punto en el lado \(BC\). Los puntos \(E, F\) están en los segmentos \(AB, AC\), respectivamente, tales que los puntos \(A, B, D, F\) y \(A, C, D, E\) son cíclicos. Los segmentos \(BF\) y \(CE\) se intersecan en \(P.\) \(L\) es un punto en \(HA\) tal que \(LC\) es tangente al circuncírculo del triángulo \(PBC\) en \(C.\) \(BH\) y \(CP\) se intersecan en \(X\). Demuestre que los puntos \(D, X\) y \(L\) yacen sobre la misma recta. Propuesto por Theoklitos Parayiou, Chipre Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por falantrng, 27 de abr. de 2025, 10:38 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. AlanLG 241 publicaciones AlanLG #1 h 30 de nov. de 2022, 11:45 p. m. • 1 Y Y por parmenides51 Sea $A_1A_2A_3A_4$ un rectángulo y sean $S_1,S_2,S_3,S_4$ cuatro circunferencias dentro del rectángulo tales que $S_k$ y $S_{k+1}$ son tangentes entre sí y tangentes al lado $A_kA_{k+1}$ para $k=1,2,3,4$, donde $A_5=A_1$ y $S_5=S_1$. Demuestre que $A_1A_2A_3A_4$ es un cuadrado. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 11 de nov. de 2005, 3:06 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que la recta $CD$ es tangente al círculo con diámetro $AB$. Demuestre que la recta $AB$ es tangente al círculo con diámetro $CD$ si y solo si las rectas $BC$ y $AD$ son paralelas. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 2 de mayo de 2023, 5:34 AM Y por En su pizarra, Alice ha escrito $n$ enteros estrictamente mayores que $1$. Luego, ella puede, tantas veces como desee, borrar dos números $a$ y $b$ tales que $a \neq b$, y reemplazarlos por $q$ y $q^2$, donde $q$ es el producto de los factores primos de $ab$ (cada factor primo se cuenta solo una vez). Por ejemplo, si Alice borra los números $4$ y $6$, los factores primos de $ab = 2^3 \times 3$ son $2$ y $3$, y Alice escribe $q = 6$ y $q^2 = 36$. Demuestre que, después de cierto tiempo, y cualquiera que sea la estrategia de Alice, la lista de números escritos en la pizarra nunca volverá a cambiar. Nota: El orden de los números de la lista no es importante. Z K Y