Determinar todos los números primos positivos $p,q,r,k$ tales que $$pq+qr+rp=12k+1$$

Determine todos los pares $(a,b)$ de números enteros que verifican $$(b^2+7(a-b))^2=a^3b$$

Encontrar todas las soluciones reales positivas del sistema de ecuaciones $$x=\frac{1}{y^2+y-1}, y=\frac{1}{z^2+z-1}, z=\frac{1}{x^2+x-1}$$

En el triángulo acutángulo $ABC$, el punto $D$ es el pie de la perpendicular desde $A$ sobre el lado $BC$. Sea $P$ un punto del segmento $AD$. Las rectas $BP$ y $CP$ cortan a los lados $AC$ y $AB$ en $E$ y $F$ respectivamente. Sean $J$ y $K$ los pies de las perpendiculares desde $E$ y $F$ sobre $AD$ respectivamente. Demuestra que $$\frac{FK}{KD}=\frac{EJ}{JD}$$

Beto juega con su computadora al siguiente juego: inicialmente su computadora elige al azar $30$ números del $1$ a $2015$, y Beto los escribe en un pizarrón (puede haber números repetidos); en cada paso, Beto elige un entero positivo $k$ y algunos de los números escritos en el pizarrón, y le resta a cada uno de ellos el número $k$, con la condición de que los números resultantes sigan siendo no negativos. El objetivo del juego es lograr que en algún momento los $30$ números resultantes sean iguales a $0$, en cuyo caso el juego termina. Determine el menor número $n$ tal que, independientemente de los números que inicialmente eligió su computadora, Beto pueda terminar el juego en a lo sumo $n$ pasos.

El número $125$ se puede representar como suma de varios números naturales que son mayores que $1$ y coprimos dos a dos. Encuentre el máximo número de sumandos que puede tener tal representación.

Dado un entero positivo $n$, se escriben todos sus divisores enteros positivos en un pizarrón. Ana y Beto juegan al siguiente juego: Por turnos, cada uno va a pintar uno de esos divisores de rojo o azul. Pueden elegir el color que deseen en cada turno, pero solo pueden pintar números que no hayan sido pintados con anterioridad. El juego termina cuando todos los números han sido pintados. Si el producto de los números pintados de rojo es un cuadrado perfecto, o si no hay ningún número pintado de rojo, gana Ana; de lo contrario, gana Beto. Si Ana tiene el primer turno, determinar para cada $n$ quién tiene estrategia ganadora.

Sea $n>2$ un entero positivo par y $a_1<a_2<\cdots<a_n$ numeros reales tales que $a_{k+1}-a_k\leq 1$ para todo $k$ con $1\leq k\leq n-1$. Sea $A$ el conjunto de pares $(i,j)$ con $1\leq i<j\leq n$ y $j-i$ par, y sea $B$ el conjunto de pares $(i,j)$ con $1\leq i<j\leq n$ y $j-i$ impar. Demuestra que \n$$\prod_{(i,j) \in A} (a_j - a_i) > \prod_{(i,j) \in B} (a_j - a_i)$$

Sobre una circunferencia se marcan $2014$ puntos. Sobre cada uno de los segmentos cuyos extremos son dos de los $2014$ puntos, se escribe un número real no negativo. Se sabe que para cualquier polígono convexo cuyos vértices son algunos de los $2014$ puntos, la suma de los números escritos en sus lados es menor o igual que $1$. Determine el máximo valor posible de la suma de todos los números escritos.

Para cada entero positivo $n$, se define $s(n)$ como la suma de los dígitos de $n$. Determine el menor entero positivo $k$ tal que $$s(k)=s(2k)=s(3k)=\cdots =s(2014k)$$