Las circunferencias $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se cortan en dos puntos distintos $A$ y $K$. La tangente común a $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ más cercana a $K$ toca a $\Gamma_1$ en $B$ y a $\Gamma_2$ en $C$. Sean $P$ el pie de la perpendicular desde $B$ sobre $AC$, y $Q$ el pie de la perpendicular desde $C$ sobre $AB$. Si $E$ y $F$ son los puntos simétricos de $K$ respecto de las rectas $PQ$ y $BC$, demuestra que los puntos $A$, $E$ y $F$ son colineales.

Para cada entero positivo $n$, $s(n)$ es la suma de los cuadrados de los digitos de $n$. Determina todos los enteros $n\geq 1$ tales que $s(n)=n$.

Sea $ABC$ un trapecio con $AB\parallel CD$ e inscrito en la circunferencia $\Gamma$. Sean $P$ y $Q$ dos puntos en el segmento $AB$ ($A,P,Q,B$ están en ese orden y son distintos) tales que $AP=QB$. Sean $E$ y $F$ los segundos puntos de intersección de las rectas $CP$ y $CQ$ con $\Gamma$, respectivamente. Las rectas $AB$ y $EF$ se cortan en $G$. Demuestra que la recta $DG$ es tangente a $\Gamma$.

Don Miguel coloca una ficha en alguno de los $(n+1)^2$ vértices determinados por un tablero de $n\times n$. Una jugada consiste en mover la ficha desde el vértice en el que se encuentra a un vértice adyacente en alguna de las ocho posibles direcciones: $\uparrow, \downarrow, \rightarrow, \leftarrow, \nearrow, \searrow, \swarrow, \nwarrow$, siempre y cuando no se salga del tablero. Un recorrido es una sucesión de jugadas tal que la ficha estuvo en cada uno de los $(n+1)^2$ vértices exactamente una vez. ¿Cuál es la mayor cantidad de jugadas diagonales ($\nearrow, \searrow, \swarrow, \nwarrow$) que en total puede tener el recorrido?

Sean $a_1,a_2,\ldots, a_{2019}$ enteros positivos y $P$ un polinomio con coeficientes enteros tal que, para todo entero positivo $n$, $$P(n)\mid a_1^n+a_2^n+\cdots +a_{2019}^n$$ Demuestra que $P$ es un polinomio constante.

En un plano tenemos $n$ rectas sin que haya dos paralelas, ni dos perpendiculares, ni tres concurrentes. Se elige un sistema de ejes cartesianos con una de las $n$ rectas como eje de las abscisas. Un punto $P$ se sitúa en el origen de coordenadas del sistema elegido y comienza a moverse a velocidad constante por la parte positiva del eje de las abscisas. Cada vez que $P$ llega a la intersección de dos rectas, sigue por la recta recién alcanzada en el sentido que permite que el valor de la abscisa de $P$ sea siempre creciente. Demostrar que se puede elegir el sistema de ejes cartesianos de modo que $P$ pase por puntos de las $n$ rectas. Nota: El eje de las abscisas de un sistema de coordenadas del plano es el eje de la primera coordenada o eje de las $x$.

Para cada entero positivo $n$, sea $S(n)$ la suma de sus dígitos. Decimos que $n$ tiene la propiedad $P$ si los términos de la sucesión infinita $n, S(n), S(S(n)), S(S(S(n))), \ldots, $ son todos pares, y decimos que $n$ tiene la propiedad $I$ si los términos de esta sucesión son todos impares. Demuestra que entre todos los enteros positivos $n$ tales que $1\leq n\leq 2017$ son más los que tienen la propiedad $I$ que los que tienen la propiedad $P$.

Para cada numero natural $n\geq 2$, halla las soluciones enteras al siguiente sistema de ecuaciones: $$x_1=(x_2+x_3+x_4+\cdots+x_n)^{2018}$$ $$x_2=(x_1+x_3+x_4+\cdots+x_n)^{2018}$$ $$\vdots$$ $$x_n=(x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{n-1})^{2018}$$

Sea $n$ un entero positivo. Para una permutación $a_1,a_2,\ldots, a_n$, de los números $1,2,\ldots,n$, definimos $$ b_k = \min_{1 \leq i \leq k} a_i + \max_{1 \leq j \leq k} a_j$$ para cada $k=1,2,\ldots, n$. Decimos que la permutación $a_1,a_2,\ldots, a_n$, es guadiana si la sucesión $b_1,b_2,\ldots, b_n$, no tiene dos elementos consecutivos iguales. ¿Cuántas permutaciones guadianas existen?

Consideramos las configuraciones de números enteros: $a_{1,1}$ $a_{2,1},a_{2,2}$ $a_{3,1}, a_{3,2}, a_{3,3}$ $\vdots$ $a_{2017,1}, a_{2017, 2}, \cdots, a_{2017,2017}$ con $a_{i,j}=a_{i+1,j}+a_{i+1,j+1}$ para todos los $i,j$ tales que $1\leq j\leq i\leq 2016$. Determina la maxima cantidad de enteros impares que puede tener una de estas configuraciones.