La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 30 de sep. de 2004, 12:43 p. m. • 3 Y Y por Amir Hossein, Adventure10, Mango247 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sean $DAC, EAB$ y $FBC$ triángulos isósceles exteriores a $ABC$, con $DA=DC, EA=EB$ y $FB=FC$, tales que \[ \angle ADC = 2\angle BAC, \quad \angle BEA= 2 \angle ABC, \quad \angle CFB = 2 \angle ACB. \] Sea $D'$ la intersección de las rectas $DB$ y $EF$, sea $E'$ la intersección de $EC$ y $DF$, y sea $F'$ la intersección de $FA$ y $DE$. Encuentre, con demostración, el valor de la suma \[ \frac{DB}{DD'}+\frac{EC}{EE'}+\frac{FA}{FF'}. \] Adjuntos: Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por djmathman, 9 de jul. de 2020, 9:55 p. m. Razón: espaciado Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. jhz 10 publicaciones jhz #1 h 25 de mar. de 2025, 6:56 p. m. • 1 Y Y por Rounak_iitr En el cuadrilátero convexo $ABCD, AB \perp AD, AD = DC$. Sea $E$ un punto en el lado $BC$, y $F$ un punto en la extensión de $DE$ tal que $\angle ABF = \angle DEC>90^{\circ}$. Sea $O$ el circuncentro del $\triangle CDE$, y $P$ un punto en la extensión del lado $FO$ que satisface $FB =FP$. La recta $BP$ corta a $AC$ en el punto $Q$. Demuestre que $\angle AQB =\angle DPF.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 30 de sep. de 2004, 12:44 p. m. • 4 Y Y por Adventure10, Adventure10, Mango247 y otro usuario. Sea $ABC$ un triángulo y $P$ un punto exterior en el plano del triángulo. Suponga que las rectas $AP$, $BP$, $CP$ cortan a los lados $BC$, $CA$, $AB$ (o a sus extensiones) en $D$, $E$, $F$, respectivamente. Suponga además que las áreas de los triángulos $PBD$, $PCE$, $PAF$ son todas iguales. Demuestre que cada una de estas áreas es igual al área del propio triángulo $ABC$. Adjuntos: Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 24 de oct. de 2004, 7:03 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. YaoAOPS 1958 publicaciones YaoAOPS #1 h 9 de mar. de 2025, 9:34 p. m. • 1 Y Y por MS_asdfgzxcvb Sea $S$ un conjunto de $n$ puntos en el plano tal que para cualesquiera dos puntos $(a, b), (c, d) \in S$, tenemos que $| a - c | \cdot | b - d | \ge 1$. Demuestre que (a) Si $S = \{ Q_1, Q_2, Q_3\}$ tal que para cualquier punto $Q_i$ en $S$, este punto no se encuentra en el rectángulo alineado con los ejes cuyos vértices son los otros dos puntos, demuestre que el área del $\triangle Q_1Q_2Q_3$ es al menos $\frac{\sqrt{5}}{2}$. (b) Si todos los puntos en $S$ se encuentran en un cuadrado alineado con los ejes de lado $a$, entonces $|S| \le \frac{a^2}{\sqrt{5}} + 2a + 1$. Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por YaoAOPS, 9 de mar. de 2025, 11:23 p. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. a_507_bc 679 publicaciones a_507_bc #1 h 29 de julio de 2024, 1:45 PM • 1 Y Y por math90 Demuestre que para todo entero positivo $t$ existe una única permutación $a_0, a_1, \ldots , a_{t-1}$ de $0, 1, \ldots , t-1$ tal que, para todo $0 \leq i \leq t-1$, el coeficiente binomial $\binom{t+i}{2a_i}$ es impar y $2a_i \neq t+i$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathisreal 925 publicaciones mathisreal #1 h 26 de agosto de 2018, 7:30 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Una sucesión $a_1, a_2,\dots, a_n$ de enteros positivos es alagoana, si para todo entero positivo $n$, se cumplen estas dos condiciones: I- $a_{n!} = a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdots a_n$ II- El número $a_n$ es la $n$-ésima potencia de un entero positivo. Encuentre todas las sucesiones alagoanas. Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por mathisreal, 1 de diciembre de 2021, 10:06 AM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. EthanWYX2009 1196 publicaciones EthanWYX2009 #1 h 24 de mar. de 2025, 6:54 p. m. • 2 Y Y por yofro, S_2 Encuentre todos los enteros positivos \( m \) para los cuales existe un subconjunto infinito \( A \) de los enteros positivos tal que: para cualesquiera enteros positivos distintos \( a_1, a_2, \cdots, a_m \in A \), la suma \( a_1 + a_2 + \cdots + a_m \) y el producto \( a_1a_2 \cdots a_m \) son ambos libres de cuadrados. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. jhz 10 publicaciones jhz #1 h 25 de mar. de 2025, 6:28 p. m. • 3 Y Y por MS_asdfgzxcvb, sky.mty, Oksutok Encuentre el número real $M$ más pequeño tal que existan cuatro números complejos $a,b,c,d$ con $|a|=|b|=|c|=|d|=1$ , y para cualquier número complejo $z$ , si $|z| = 1$ , entonces \[|az^3+bz^2+cz+d|\le M.\] Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por jhz, 25 de mar. de 2025, 6:28 p. m. Z K Y