48 $(NET 3)$ Sean $x_1, x_2, x_3, x_4$ y $x_5$ enteros positivos que satisfacen \[x_1 +x_2 +x_3 +x_4 +x_5 = 1000,\] \[x_1 -x_2 +x_3 -x_4 +x_5 > 0,\] \[x_1 +x_2 -x_3 +x_4 -x_5 > 0,\] \[-x_1 +x_2 +x_3 -x_4 +x_5 > 0,\] \[x_1 -x_2 +x_3 +x_4 -x_5 > 0,\] \[-x_1 +x_2 -x_3 +x_4 +x_5 > 0\] $(a)$ Encuentre el máximo de $(x_1 + x_3)^{x_2+x_4}$ $(b)$ ¿De cuántas maneras diferentes podemos elegir $x_1, . . . , x_5$ para obtener el máximo deseado?

50 $(NET 5)$ Las bisectrices de los ángulos exteriores de un pentágono $B_1B_2B_3B_4B_5$ forman otro pentágono $A_1A_2A_3A_4A_5.$ Construya $B_1B_2B_3B_4B_5$ a partir del pentágono dado $A_1A_2A_3A_4A_5.$

55 Para cada $k=1,2,3,4,5$, encuentre condiciones necesarias y suficientes sobre $a>0$ tales que exista un tetraedro con $k$ aristas de longitud $a$ y el resto de longitud $1$.

31 $(GDR 3)$ Encuentre el número de permutaciones $a_1, \cdots, a_n$ del conjunto $\{1, 2, . . ., n\}$ tales que $|a_i - a_{i+1}| \neq 1$ para todo $i = 1, 2, . . ., n - 1.$ Encuentre una fórmula de recurrencia y evalúe el número de tales permutaciones para $n \le 6.$

30 $(GDR 2)^{IMO1}$ Demuestre que existen infinitos números naturales $a$ con la siguiente propiedad: El número $z = n^4 + a$ no es primo para ningún número natural $n.$

43 $(MON 4)$ Sean $p$ y $q$ dos números primos mayores que $3.$ Demuestre que si su diferencia es $2^n$, entonces para cualesquiera dos enteros $m$ y $n,$ el número $S = p^{2m+1} + q^{2m+1}$ es divisible por $3.$

57 Sea el triángulo $ ABC $ con puntos $ M $ y $ N $ en los lados $ AB $ y $ AC $ respectivamente. Si $ \dfrac{BM}{MA} +\dfrac{CN}{NA} = 1 $, demuestre que el baricentro de $ ABC $ se encuentra sobre $ MN $.

17 $(CZS 6)$ Sean $d$ y $p$ dos números reales. Encuentre el primer término de una progresión aritmética $a_1, a_2, a_3, \cdots$ con diferencia $d$ tal que $a_1a_2a_3a_4 = p.$ Determine el número de soluciones en términos de $d$ y $p.$

32 $(GDR 4)$ Encuentre el número máximo de regiones en las que una esfera puede ser dividida por $n$ círculos.

71 $(YUG 3)$ Sean cuatro puntos $A_i (i = 1, 2, 3, 4)$ en el plano que determinan cuatro triángulos. En cada uno de estos triángulos elegimos el ángulo más pequeño. La suma de estos ángulos se denota por $S.$ ¿Cuál es la ubicación exacta de los puntos $A_i$ si $S = 180^{\circ}$ ?