Cuándo se puede resolver x² - Dy² = -1.
La Ecuación de Pell Negativa es la ecuación diofántica de la forma $x^2 - Dy^2 = -1$, donde $D$ es un entero positivo dado que no es un cuadrado perfecto y buscas soluciones enteras $(x, y)$. A diferencia de la ecuación de Pell estándar ($x^2 - Dy^2 = 1$), que tiene infinitas soluciones para cualquier $D$ que no sea un cuadrado, la ecuación de Pell negativa no siempre tiene solución. Por ejemplo, $x^2 - 3y^2 = -1$ no tiene soluciones enteras, mientras que $x^2 - 2y^2 = -1$ tiene la solución $(1, 1)$.
Que esta ecuación tenga solución o no está íntimamente relacionado con la teoría de fracciones continuas. Específicamente, existen soluciones si y solo si la longitud del periodo de la expansión en fracción continua simple de $\sqrt{D}$ es impar. Si la ecuación tiene solución, puedes encontrar la solución fundamental $(x_1, y_1)$ —la solución con los valores positivos más pequeños de $x$ y $y$— usando las convergentes de $\sqrt{D}$. Puedes generar todas las demás soluciones a partir de esta solución fundamental.
En el contexto de la teoría algebraica de números, resolver $x^2 - Dy^2 = -1$ equivale a encontrar una unidad de norma $-1$ en el anillo de enteros $\mathbb{Z}[\sqrt{D}]$ (o el