x_{n+1} + y_{n+1}√D = (x₁ + y₁√D)^(n+1).
La Recurrencia de la Solución de Pell te da un método para generar todas las soluciones enteras positivas de la ecuación de Pell, $x^2 - Dy^2 = 1$, si ya tienes la solución fundamental $(x_1, y_1)$. Una vez que encuentras la solución no trivial más pequeña (la solución fundamental) —que normalmente sacas con fracciones continuas— puedes obtener todas las demás soluciones $(x_n, y_n)$ elevando a una potencia la unidad fundamental $x_1 + y_1\sqrt{D}$ en el anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{D}]$. Específicamente, sacas la $n$-ésima solución expandiendo $(x_1 + y_1\sqrt{D})^n$ e igualando las partes racionales e irracionales.
Esta técnica es clave en las olimpiadas de matemáticas porque convierte un problema diofántico en uno algebraico que usa potencias y relaciones de recurrencia. Se basa en la propiedad de que la norma $N(z) = a^2 - Db^2$ es multiplicativa. Por lo tanto, si un número tiene norma 1, cualquier potencia entera de ese número también va a tener norma 1. Esta estructura te permite calcular soluciones grandes de forma eficiente y demuestra que hay infinitas soluciones para la ecuación de Pell (siempre que $D$ no sea un cuadrado perfecto).
Más allá de la fórmula directa de la potencia, este concepto te da relaciones de