¿Cuántas cuádruplas de enteros positivos $(a, b, c, d)$ satisfacen $a \cdot b \cdot c \cdot d = 2025$, y $a \cdot b$, $b \cdot c$, $c \cdot d$ y $d \cdot a$ son cuadrados perfectos? Recuerde que un número $x$ es un cuadrado perfecto si existe un entero $n$ tal que $x = n^2$.

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. AHZOLFAGHARI 128 publicaciones AHZOLFAGHARI #1 h 16 de mar. de 2023, 4:40 a. m. • 1 Y Y por GeoKing $ABC$ es un triángulo acutángulo con ortocentro $H$. El punto $P$ está en el triángulo $BHC$ tal que $\angle HPC = 3 \angle HBC$ y $\angle HPB = 3 \angle HCB$. La reflexión del punto $P$ respecto a $BH$ y $CH$ es $X$ e $Y$, respectivamente. Si $S$ es el centro del circuncírculo de $AXY$, demuestre que: $$\angle BAS = \angle CAP$$ Propuesto por Pouria Mahmoudkhan Shirazi Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por AHZOLFAGHARI, 17 de mar. de 2023, 2:17 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. AHZOLFAGHARI 128 publicaciones AHZOLFAGHARI #1 h 15 de mar. de 2023, 1:39 p. m. Y por Suponga que $n\ge2$ y $a_1,a_2,...,a_n$ son números naturales tales que $(a_1,a_2,...,a_n)=1$. Encuentre todas las funciones estrictamente crecientes $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{R}$ tales que: $$ \forall x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{Z} : f(\sum_{i=1}^{n} {x_ia_i}) = \sum_{i=1}^{n} {f(x_ia_i)}$$ Propuesto por Navid Safaei y Ali Mirzaei Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por AHZOLFAGHARI, 17 de mar. de 2023, 2:19 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. AHZOLFAGHARI 128 publicaciones AHZOLFAGHARI #1 h 15 de mar. de 2023, 1:03 p. m. • 2 Y Y por ImSh95, k_rs52 Suponga que $n\ge3$ es un número natural. Encuentre el valor máximo $k$ tal que existen números reales $a_1,a_2,...,a_n \in [0,1)$ (no necesariamente distintos) tales que para todo número natural $j \le k$, la suma de algunos $a_i$ es $j$. Propuesto por Navid Safaei Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por AHZOLFAGHARI, 17 de mar. de 2023, 2:20 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. AHZOLFAGHARI 128 publicaciones AHZOLFAGHARI #1 h 15 de mar. de 2023, 1:19 p. m. Y sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico y $O$ el centro de su circunferencia circunscrita. Suponga que $AD \cap BC = E$ y $AC \cap BD = F$. La circunferencia $\omega$ es tangente a las rectas $AC$ y $BD$. $PQ$ es un diámetro de $\omega$ tal que $F$ es el ortocentro de $EPQ$. Demuestre que la recta $OE$ pasa por el centro de $\omega$. Propuesto por Mahdi Etesami Fard. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por AHZOLFAGHARI, 17 de mar. de 2023, 2:20 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 19 de sep. de 2022, 1:42 p. m. Y por Encuentre todos los enteros $k$ para los cuales existe una función $f: N \to Z$ que satisface: (i) $f(1995) = 1996$ (ii) $f(xy) = f(x) + f(y) + kf(m_{xy})$ para todos los números naturales $x, y$, donde $m_{xy}$ denota el máximo común divisor de los números $x, y$. Aclaración: $N = \{1,2,3,...\}$ y $Z = \{...-2,-1,0,1,2,...\}$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 19 de sep. de 2022, 1:40 p. m. Y por Hay un tablero con $n$ filas y $4$ columnas, y fichas blancas, amarillas y azul claro. El jugador $A$ coloca cuatro fichas en la primera fila del tablero y las cubre para que el jugador $B$ no las conozca. ¿Qué debe hacer el jugador $B$ para llenar el número mínimo de filas con fichas que aseguren que en cualquiera de las filas tendrá al menos tres aciertos? Aclaración: Un acierto del jugador $B$ ocurre cuando coloca una ficha del mismo color y en la misma columna que $A$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 19 de sep. de 2022, 1:40 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 14 de enero de 2026, 4:26 a. m. • 1 Y Y por cubres Sean dos círculos en el plano que se encuentran en el exterior del otro (es decir, no se intersecan), y sea un punto dado en cada círculo. Construya dos círculos de igual radio que sean tangentes a los círculos dados y que se intersequen en el segmento de recta que une los puntos dados. Z K Y

Dados $1811$ números naturales distintos, cada uno de los cuales no excede $1991$. Sea $m$ el menor de ellos. Demuestre que existen dos números entre ellos cuya diferencia es igual a $10m$.

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