La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 7:21 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Para cualquier polinomio $P(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_kx^k$ con coeficientes enteros, el número de coeficientes impares se denota por $o(P)$. Para $i=0,1,2,\ldots$ sea $Q_i(x)=(1+x)^i$. Demuestre que si $i_1,i_2,\ldots,i_n$ son enteros que satisfacen $0\le i_1<i_2<\ldots<i_n$, entonces: \[ o(Q_{i_{1}}+Q_{i_{2}}+\ldots+Q_{i_{n}})\ge o(Q_{i_{1}}). \] Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por phxu, 30 de sep. de 2015, 11:41 a. m. Razón: el subíndice doble debe estar contenido entre corchetes Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. jbaca 225 publicaciones jbaca #1 h 18 de junio de 2019, 12:44 PM • 1 Y Y por Adventure10 Sea $N=\overline{abcd}$ un entero positivo de cuatro dígitos. Llamamos potencia plátano al entero positivo más pequeño $p(N)=\overline{\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_k}$ que puede insertarse entre los números $\overline{ab}$ y $\overline{cd}$ de tal manera que el nuevo número $\overline{ab\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_kcd}$ sea divisible por $N$. Determine el valor de $p(2025)$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 6:55 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Un poliedro tiene $12$ caras y es tal que: (i) todas las caras son triángulos isósceles, (ii) todas las aristas tienen longitud $x$ o $y$, (iii) en cada vértice concurren $3$ o $6$ aristas, y (iv) todos los ángulos diedros son iguales. Encuentre la razón $x/y.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de agosto de 2010, 3:25 AM • 5 Y Y por narutomath96, GioOrnikapa, Adventure10, Mango247 y otro usuario más. Dado un conjunto $M$ de $1985$ enteros positivos, ninguno de los cuales tiene un divisor primo mayor que $26$, demuestre que el conjunto tiene cuatro elementos distintos cuya media geométrica es un entero. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 29 de sep. de 2025, 3:41 p. m. Y por Dado un entero positivo $n$. En la pizarra se dibuja una cuadrícula triangular de color rojo: esta cuadrícula es el triángulo equilátero de lado $n$ dividido en pequeños triángulos equiláteros de lado $1$ (ver figura). Se permite el siguiente movimiento: tres segmentos rojos de longitud $1$ que forman un zigzag (ver figura) se vuelven a pintar simultáneamente de azul (el zigzag puede rotarse y voltearse, es decir, puede colocarse de cualquier manera). Encuentre el número máximo de movimientos que se pueden realizar. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/c/4/33a0e14dc2f074688feb2e7ad343162bf87893.png Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 29 de sep. de 2025, 3:41 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. jbaca 225 publicaciones jbaca #1 h 19 de junio de 2019, 11:09 PM • 1 Y Y por Adventure10 Tenemos un polígono regular $P$ con 2019 vértices, y en cada vértice hay una moneda. Dos jugadores, Azul y Rojo, juegan por turnos alternativamente, comenzando con Azul, de la siguiente manera: primero, Azul elige un triángulo con vértices en $P$ y colorea su interior de azul, luego Rojo selecciona un triángulo con vértices en $P$ y colorea su interior de rojo, de modo que los triángulos formados en cada movimiento no se intersecten internamente con los triángulos coloreados anteriormente. Continúan jugando hasta que no sea posible elegir otro triángulo para colorear. Luego, un jugador gana la moneda de un vértice si coloreó la mayor cantidad de triángulos incidentes a ese vértice (si las cantidades de triángulos coloreados de azul o rojo incidentes al vértice son iguales, entonces nadie gana esa moneda y la moneda se elimina). El jugador con la mayor cantidad de monedas gana el juego. Encuentre una estrategia ganadora para uno de los jugadores. Nota. Dos triángulos pueden compartir vértices o lados. Z K Y

Se sabe que a partir de segmentos de longitudes $a$, $b$ y $c$, se puede formar un triángulo. ¿Podría ocurrir que a partir de segmentos de longitudes $$\sqrt{a^2 + \frac{2}{3} bc},\quad \sqrt{b^2 + \frac{2}{3} ca}\quad \text{y} \quad \sqrt{c^2 + \frac{2}{3} ab},$$ se pueda formar un triángulo rectángulo?

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. BR1F1SZ 779 publicaciones BR1F1SZ #1 h 25 de mar. de 2025, 7:01 p. m. • 2 Y Y por PC75, JSaieg37 Se elige un punto $P$ dentro de un cuadrilátero convexo $ABCD$. ¿Podría ocurrir que $$PA = AB, \quad PB = BC, \quad PC = CD \quad \text{y} \quad PD = DA?$$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. BR1F1SZ 779 publicaciones BR1F1SZ #1 h 25 de mar. de 2025, 6:58 p. m. Y por Suponga que se escribieron $n$ enteros positivos consecutivos en la pizarra, donde $n > 6$. Luego, se borraron $5$ de los números escritos y resultó que cualesquiera dos de los números restantes son coprimos. Encuentre el mayor valor posible de $n$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por BR1F1SZ, 25 de mar. de 2025, 6:59 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. BR1F1SZ 779 publicaciones BR1F1SZ #1 h 25 de mar. de 2025, 6:56 p. m. Y por Sea $K$ un entero positivo. Egor tiene $100$ tarjetas con el número “ $2$ ” escrito en ellas y $100$ tarjetas con el número “ $3$ ” escrito en ellas. Egor quiere pintar cada tarjeta de rojo o azul de modo que ningún subconjunto de tarjetas del mismo color tenga una suma de números igual a $K$. Encuentre el mayor $K$ tal que Egor no podrá pintar las tarjetas de tal manera. Z K Y