Sean $n$ y $m$ enteros mayores a $1$, y sean $a_1, a_2, \dots , a_m$ enteros positivos menores o iguales a $n^m$. Demuestra que existen enteros positivos $b_1, b_2, \dots , b_m$ menores o iguales a $n$, tales que \[mcd(a_1 + b_1, a_2 + b_2, \dots , a_m + b_m) \lt n.\]

Sean $m$ y $n$ enteros positivos con $m \gt 1$. Anastasia particiona el conjunto de enteros $1, 2, \dots , 2m$ en $m$ parejas. Luego Boris escoge un entero de cada pareja y suma los enteros escogidos. Demuestra que Anastasia puede elegir las parejas de manera que Boris no pueda hacer que su suma sea igual a $n$.

Determina si existe una sucesión infinita $a_1, a_2, a_3, \dots$ de enteros positivos que satisface la igualdad\n\[a_{n+2}=a_{n+1}+\sqrt{a_{n+1}+a_{n}} \]\npara todo entero positivo $n$.

Denotamos por $d(m)$ el número de divisores positivos de un entero positivo $m$, y por $\omega(m)$ el número de primos distintos que dividen a $m$. Sea k un entero positivo. Demuestra que hay una infinidad de enteros positivos $n$ tales que $\omega(n) = k$ y $d(n)$ no divide a $d(a^2 + b^2)$ para todos los enteros positivos $a$ y $b$ tales que $a + b = n$.

Determina todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfacen \[f (y^2 + 2xf (y) + f (x)^2) = (y + f (x))(x + f (y))\] para todos números reales $x$ y $y$.

Determina todos los enteros $m$ para los que el cuadrado $m \times m$ se puede diseccionar en cinco rectángulos, cuyas longitudes de los lados son los enteros $1,2,3,\ldots,10$ en algún orden.

El lado $BC$ del triángulo $ABC$ se prolonga más allá de $C$ hasta $D$ de modo que $CD = BC$. El lado $CA$ se prolonga más allá de $A$ hasta $E$ de modo que $AE = 2CA$. Demostrar que, si $AD=BE$, el triángulo $ABC$ es rectángulo.

Encuentra todos los enteros $n \ge 2$ para los cuales existen enteros $x_1, x_2, \dots , x_{n-1}$ que satisfacen la siguiente condición: si $0 \lt i \lt n$, $0 \lt j \lt n$ con $i \neq j$ y $2i + j $ divisible entre $n$, entonces $x_i \lt x_j$.

Sean $D$ y $E$ puntos en los lados $AB$ y $AC$ de un triángulo $ABC$, respectivamente, y tales que $DB = BC = CE$. Sean $F$ el punto de intersección de las rectas $CD$ y $BE$, $I$ el incentro del triángulo $ABC$, $H$ el ortocentro del triángulo $DEF$ y $M$ el punto medio del arco $BAC$ del circuncírculo del triángulo $ABC$. Demuestra que $I$, $H$ y $M$ son colineales.

Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$. Los puntos $D,E,F$ se encuentran en los interiores de los lados $BC,CA,AB$ respectivamente, de forma que $DE$ es perpendicular a $CO$ y $DF$ es perpendicular a $BO$. (Por interior entendemos, por ejemplo, que el punto $D$ se encuentra en la recta $BC$ y $D$ está entre $B$ y $C$ en dicha recta). Sea $K$ el circuncentro del triángulo $AFE$. Demuestra que las rectas $DK$ y $BC$ son perpendiculares.