Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$. Los puntos $D,E,F$ se encuentran en los interiores de los lados $BC,CA,AB$ respectivamente, de forma que $DE$ es perpendicular a $CO$ y $DF$ es perpendicular a $BO$. (Por interior entendemos, por ejemplo, que el punto $D$ se encuentra en la recta $BC$ y $D$ está entre $B$ y $C$ en dicha recta). Sea $K$ el circuncentro del triángulo $AFE$. Demuestra que las rectas $DK$ y $BC$ son perpendiculares.

Encuentra todos los enteros positivos $a$ y $b$ para los que hay tres enteros consecutivos en los que el polinomio \[ P(n) = \frac{n^5+a}{b} \] toma valores enteros.

Sea $n$ un entero positivo. (a) Demuestra que existe un conjunto $S$ de $6n$ enteros positivos diferentes entre sí, tal que el mínimo común múltiplo de dos elementos cualesquiera de $S$ no es mayor que $32n^2$. (b) Demuestra que todo conjunto $T$ de $6n$ enteros positivos distintos por pares contiene dos elementos cuyo mínimo común múltiplo es mayor que $9n^2$.

Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que $$f\left( {yf(x + y) + f(x)} \right) = 4x + 2yf(x + y)$$ para todo $x,y\in\mathbb{R}$.

Blancanieves y los siete enanos viven en su casa del bosque. En cada uno de $16$ días consecutivos, algunos de los enanos trabajaron en la mina de diamantes mientras los restantes recogían bayas en el bosque. Ningún enano realizó ambos tipos de trabajo el mismo día. En dos días diferentes (no necesariamente consecutivos), al menos tres enanos realizaron cada uno ambos tipos de trabajo. Además, el primer día, los siete enanos trabajaron en la mina de diamantes. Demuestra que, en uno de estos $16$ días, los siete enanos estuvieron recogiendo bayas.

Sea $\Omega$ el circuncírculo del triángulo $ABC$. La circunferencia $\omega$ es tangente a los lados $AC$ y $BC$, y es internamente tangente a la circunferencia $\Omega$ en el punto $P$. Una recta paralela a $AB$ que corta el interior del triángulo $ABC$ es tangente a $\omega$ en $Q$. Demuestra que $\angle ACP = \angle QCB$.

Un conjunto $A$ de enteros se denomina de "suma completa" si $A\subseteq A+A$, es decir, cada elemento $a\in A$ es la suma de algún par de elementos $b,c \in A$ (no necesariamente diferentes). Se dice que un conjunto $A$ de enteros es "libre de suma cero" si $0$ es el único entero que no puede expresarse como la suma de los elementos de un subconjunto finito no vacío de $A$. ¿Existe un conjunto de suma completa libre de suma cero?

Los números $p$ y $q$ son primos y satisfacen \[\frac{p}{{p + 1}} + \frac{{q + 1}}{q} = \frac{{2n}}{{n + 2}}\] para algún entero positivo $n$. Encontrar todos los valores posibles de $q-p$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia $\Gamma$ y ortocentro $H$. Sea $K$ un punto de $\Gamma$ en el otro lado de $BC$ desde $A$. Sea $L$ la reflexión de $K$ en la recta $AB$, y sea $M$ la reflexión de $K$ en la recta $BC$. Sea $E$ el segundo punto de intersección de $\Gamma$ con la circunferencia del triángulo $BLM$. Demuestra que las rectas $KH$, $EM$ y $BC$ son concurrentes.

Hay infinitas personas registradas en la red social Mugbook. Algunas parejas de usuarios (diferentes) están registradas como amigos, pero cada persona sólo tiene un número finito de amigos. Cada usuario tiene al menos un amigo. (La amistad es mutua; es decir, si $A$ es amigo de $B$, entonces $B$ es amigo de $A$). Cada persona debe designar a uno de sus amigos como su mejor amigo. Si $A$ designa a $B$ como su mejor amigo, entonces (por desgracia) no se deduce que $B$ designe necesariamente a $A$ como su mejor amigo. A alguien designado como mejor amigo se le llama mejor amigo $1$. En términos más generales, si $n\gt 1$ es un número entero positivo, entonces un usuario es un $n$-mejor amigo siempre que haya sido designado como mejor amigo de alguien que sea un $(n-1)$-mejor amigo. Alguien que es un $k$-mejor amigo para cada entero positivo $k$ se llama popular. (a) Demuestre que toda persona popular es el mejor amigo de una persona popular. (b) Demuestre que si la gente puede tener infinitos amigos, entonces es posible que una persona popular no sea el mejor amigo de una persona popular.