(a) Demuestra que para todo número real $t$ tal que $0 \lt t \lt \frac12$ existe un entero positivo $n$ con la siguiente propriedad: para todo conjunto $S$ de $n$ enteros positivos existen dos elementos distintos $x$ e $y$ de $S$, y un entero no negativo $m$ tal que $\left|x - my\right| \leq ty.$ (b) Determina si para todo número real $t$ con $0 \lt t \lt \frac12$ existe un conjunto infinito $S$ de enteros positivos tal que $\left|x - my\right| \gt ty$ para todo par de elementos distintos $x$ e $y$ de $S$ y para todo entero positivo $m$.

Sea ABC un triángulo acutángulo que no tiene dos lados con la misma longitud. Las reflexiones del gravicentro $G$ y el circuncentro $O$ de $ABC$ con respecto a los lados $BC$, $CA$, $AB$ se denotan como $G_1, G_2, G_3$, y $O_1, O_2, O_3$, respectivamente. Demuestra que los circuncírculos de los triángulos $G_1G_2C, G_1G_3B, G_2G_3A, O_1O_2C, O_1O_3B, O_2O_3A$ y $ABC$ tienen un punto en común.

Sean $n$ un entero positivo impar, y $x_1, \dots, x_n$ números reales no negativos. Muestra que \n\[ \min_{i=1,\ldots,n} (x_i^2+x_{i+1}^2) \leq \max_{j=1,\ldots,n} (2x_jx_{j+1}) \]\ndonde $x_{n+1}= x_1$.

Sean $k$ y $n$ enteros tales que $k \ge 2$ y $k \le n \le 2k - 1$. Se ponen piezas rectangulares, cada una de tamaño $1 \times k$ ó $k \times 1$, en un tablero de $n \times n$ casillas cuadradas, de forma que cada pieza cubra exactamente $k$ casillas del tablero y que no haya dos piezas superpuestas. Se hace esto hasta que no se puedan colocar más piezas. Para cada $n$ y $k$ que cumplen las condiciones anteriores, determina el mínimo número de piezas que puede contener dicho tablero.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, y sea $D$ el pie de la altura trazada desde $C$. La bisectriz de $\angle ABC$ intersecta a $CD$ en $E$ y vuelve a intersectar al circuncírculo $\omega$ de $ ADE$ en $F$. Si $\angle ADF = 45^{\circ}$, muestra que $CF$ es tangente a $\omega$.

Sea $S$ el conjunto de todos los enteros positivos $n$ tales que $n^4$ tiene un divisor en el conjunto $\{n^2 + 1, n^2 + 2, \dots, n^2 + 2n\}$. Demuestra que hay infinitos elementos en $S$ de cada una de las formas $7m, 7m + 1, 7m + 2, 7m + 5$ y $7m + 6$, pero $S$ no contiene elementos de la forma $7m + 3$ y $7m + 4,$ para $m$ entero.

Una ficha de dominó es de $2 \times 1$ o de $1 \times 2$ cuadrados unitarios. Determina de cuántas maneras distintas se pueden acomodar exactamente $n^2$ fichas de dominó en un tablero de ajedrez de tamaño $2n \times 2n$ de forma que cualquier cuadrado de $2 \times 2$ contiene al menos dos cuadrados unitarios sin cubrir que están en la misma fila o en la misma columna.

Sea $n$ un entero positivo. Se tienen $n$ cajas y cada caja contiene un número no negativo de fıchas. Un movimiento consiste en tomar dos fıchas de una de las cajas, dejar una fuera de las cajas y poner la otra en otra caja. Decimos que una configuración de fıchas es resoluble si es posible aplicar un número finito de movimientos (que puede ser igual a cero) para obtener una configuración en la que no haya cajas vacías. Determina todas las configuraciones iniciales de fıchas que no son resolubles y se vuelven resolubles al agregar una fıcha en cualquiera de las cajas (sin importar en cual caja se pone la fıcha).

Sea $H$ el ortocentro y $G$ el gravicentro del triángulo acutángulo $\bigtriangleup ABC$, con $AB \neq AC$. La línea $AG$ intersecta al circuncírculo de $\bigtriangleup ABC$ en $A$ y en $P$. Sea $P'$ la reflexión de $P$ sobre la línea $BC$. Demuestra que $\angle CAB = 60^{\circ}$ si y solo si $HG = GP'$.

Sean $n$ y $m$ enteros mayores a $1$, y sean $a_1, a_2, \dots , a_m$ enteros positivos menores o iguales a $n^m$. Demuestra que existen enteros positivos $b_1, b_2, \dots , b_m$ menores o iguales a $n$, tales que \[mcd(a_1 + b_1, a_2 + b_2, \dots , a_m + b_m) \lt n.\]