Para cada entero positivo $n$, el Banco de Ciudad del Cabo produce monedas de valor $\frac{1}{n}$ . Dada una colección finita de tales monedas (no necesariamente de distintos valores) cuyo valor total no supera $99 + \frac 12$, demuestra que es posible separar esta colección en $100$ o menos montones, de modo que el valor total de cada montón sea como máximo $1$.

Los puntos $P$ y $Q$ están en el lado $BC$ del triángulo acutángulo $ABC$ de modo que $\angle PAB = \angle BCA$ y $\angle CAQ = \angle ABC$. Los puntos $M$ y $N$ están en las rectas $AP$ y $AQ$, respectivamente, de modo que $P$ es el punto medio de $AM$, y $Q$ es el punto medio de $AN$. Demuestra que las rectas $BM$ y $CN$ se cortan en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$.

Un conjunto de rectas en el plano está en posición general si no hay dos que sean paralelas ni tres que pasen por el mismo punto. Un conjunto de rectas en posición general separa el plano en regiones, algunas de las cuales tienen área finita; a estas las llamamos sus regiones finitas. Demuestra que para cada $n$ suficientemente grande, en cualquier conjunto de n rectas en posición general es posible colorear de azul al menos $\sqrt{n}$ de ellas de tal manera que ninguna de sus regiones finitas tenga todos los lados de su frontera azules. Nota: A las soluciones que reemplacen $\sqrt{n}$ por $c\sqrt{n}$ se les otorgarán puntos dependiendo del valor de $c$.

Demostrar que para cualquier par de enteros positivos $k$ y $n$, existen $k$ enteros positivos $m_1, m_2, \dots , m_k$ (no necesariamente distintos) tales que \[1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac1{m_1}\right)\cdots \left(1+\frac1{m_k}\right).\]

Supongamos que el excírculo del triángulo $ABC$ opuesto al vértice $A$ es tangente al lado $BC$ en el punto $A_1$. Análogamente, se definen los puntos $B_1$ en $CA$ y $C_1$ en $AB$, utilizando los excírculos opuestos a $B$ y $C$ respectivamente. Supongamos que el circuncentro del triángulo $A_1B_1C_1$ pertenece a la circunferencia que pasa por los vértices $A$, $B$ y $C$. Demuestra que el triángulo $ABC$ es rectángulo.

Halla todas las funciones $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ que cumplen la siguiente igualdad: \[f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a).\] Para todos los enteros $a,$ $b,$ $c$ que satisfacen $a+b+c=0$.

Dado un triángulo $ABC$, el punto $J$ es el centro del excírculo opuesto al vértice $A$. Este excírculo es tangente al lado $BC$ en $M$, y a las rectas $AB$ y $AC$ en $K$ y $L$, respectivamente. Las rectas $LM$ y $BJ$ se cortan en $F$, y las rectas $KM$ y $CJ$ se cortan en $G$. Sea $S$ el punto de intersección de las rectas $AF$ y $BC$, y sea $T$ el punto de intersección de las rectas $AG$ y $BC$. Demuestra que $M$ es el punto medio de $ST$.

Sea $\mathbb{Q}_{>0}$ el conjunto de los números racionales mayores que cero. Sea $f : \mathbb{Q}_{\gt 0} \to \mathbb{R}$ una función que satisface las tres siguientes condiciones: (i) $f(x)f(y) \geq f(xy)$ para todos los $x,y \in \mathbb{Q}_{>0}$; (ii) $f(x+y)\geq f(x)+f(y)$ para todos los $x,y \in \mathbb{Q}_{>0}$; (iii) existe un número racional $a > 1$ tal que $f(a) = a$. Demuestra que $f(x) = x$ para todo $x \in \mathbb{Q}_{>0}$.

Sea $n \geq 3$ un entero, y sean $a_2, a_3, \dots, a_n$ números reales positivos tales que\n$a_2a_3 \dots a_n = 1$. Demuestra que\n\[(1 + a_2)^2 (1 + a_3)^3 \dotsm (1 + a_n)^n > n^n.\]

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$, y sea $W$ un punto sobre el lado $BC$, estrictamente entre $B$ y $C$. Los puntos $M$ y $N$ son los pies de las alturas trazadas desde $B$ y $C$ respectivamente. Se denota por $\omega_1$ la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo $BWN$, y por $X$ el punto de $\omega_1$ tal que $WX$ es un diámetro de $\omega_1$. Análogamente, se denota por $\omega_2$ la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo $CWM$, y por $Y$ el punto de $\omega_2$ tal que $WY$ es un diámetro de $\omega_2$. Demuestra que los puntos $X$, $Y$ y $H$ son colineales.