Se tienen $n \ge 2$ segmentos en el plano tales que cada par de segmentos se intersectan en un punto interior a ambos, y no hay tres segmentos que tengan un punto en común. Mafalda debe elegir uno de los extremos de cada segmento y colocar sobre él una rana mirando hacia el otro extremo. Luego silbará $n-1$ veces. En cada silbido, cada rana saltará inmediatamente hacia adelante hasta el siguiente punto de intersección sobre su segmento. Las ranas nunca cambian las direcciones de sus saltos. Mafalda quiere colocar las ranas de tal forma que nunca dos de ellas ocupen al mismo tiempo el mismo punto de intersección. (a) Demuestra que si $n$ es impar, Mafalda siempre puede lograr su objetivo. (b) Demuestra que si $n$ es par, Mafalda nunca logrará su objetivo.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\gt AC$. Sea $\Gamma$ su circunferencia circunscrita, $H$ su ortocentro, y $F$ el pie de la altura desde $A$. Sea $M$ el punto medio del segmento $BC$. Sea $Q$ el punto de $\Gamma$ tal que $\angle HQA = 90^{\circ}$. Supongamos que los puntos $A,B,C,K$ y $Q$ son todos distintos y están sobre $\Gamma$ en ese orden. Demuestra que la circunferencia circunscrita al triángulo $KQH$ es tangente a la circunferencia circunscrita al triángulo $FKM$.

Determinar todas las ternas $(a,b,c)$ de enteros positivos tales que cada uno de los números $$ab-c, \quad bc-a,\quad ca-b$$ es una potencia de 2.

El triángulo $ABC$ tiene circunferencia circunscrita $\Omega$ y circuncentro $O$. Una ciccunferencia $\Gamma$ de centro $A$ corta al segmento $BC$ en los puntos $D$ y $E$ tales que $B$, $D$, $E$ y $C$ son todos diferentes y están en la recta $BC$ en este orden. Sean $F$ y $G$ los puntos de intersección de $\Gamma$ y $\Omega$, tales que $A$, $F$, $B$, $C$ y $G$ están sobre $\Omega$ en este orden. Sea $K$ el segundo punto de intersección de la circunferencia circunscrita al triángulo $BDF$ y el segmento $AB$. Sea $L$ el segundo punto de intersección de la circunferencia circunscrita al triángulo $CGE$ y el segmento $CA$. Supongamos que las rectas $FK$ y $GL$ son distintas y se cortan en el punto $X$. Demuestra que $X$ está en la recta $AO$.

La sucesión de enteros $a_1,a_2,\dots$ satisface las siguientes condiciones: (i) $1\leq a_j \leq 2015$ para todo $j\geq 1$; \newline (ii) $k+a_k\neq\ell+a_{\ell}$ para todo $1\leq k \lt \ell$. Demostrar que existen dos enteros positivos $b$ y $N$ tales que \[\left\vert\sum_{j=m+1}^n(a_j-b)\right\vert\le1007^2\] Para todos los enteros $m$ y $n$ que satisfacen $n\gt m\geq N$.

Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de los números reales. Determinar todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfacen la ecuación \[f\left(x+f(x+y)\right)+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)\] Para todos los números reales $x$, $y$.

Sea $a_0 \lt a_1 \lt a_2 \lt \dots$ una sucesión infinita de números enteros positivos. Demostrar que existe un único entero $n \geq 1$ tal que\n\[a_n < \frac{a_0+a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \leq a_{n+1}.\]

Sea $n\geq 2$ un entero. Consideremos un tablero de tamaño $n\times n$ formado por $n^2$ cuadrados unitarios. Una configuración de $n$ fichas en este tablero se dice que es "pacífica" si en cada fila y en cada columna hay exactamente una ficha. Halla el mayor entero positivo $k$ tal que, para cada configuración pacífica de $n$ fichas, existe un cuadrado de tamaño $k\times k$ sin fichas en sus $k^2$ cuadrados unitarios.

En el cuadrilátero convexo $ABCD$, se tiene $\angle ABC = \angle CDA = 90^{\circ}$. La perpendicular a $BD$ desde $A$ corta a $BD$ en el punto $H$. Los puntos $S$ y $T$ están en los lados $AB$ y $AD$, respectivamente, y son tales que H está dentro del triángulo $SCT$ y \[\angle CHS -\angle CSB = 90^{\circ}, \quad \angle THC -\angle DTC = 90^{\circ} .\] Demuestra que la recta $BD$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $TSH$.

Una configuración de $4027$ puntos del plano, de los cuales $2013$ son rojos y $2014$ azules, y no hay tres de ellos que sean colineales, se llama colombiana. Trazando algunas rectas, el plano queda dividido en varias regiones. Una colección de rectas es buena para una configuración colombiana si se cumplen las dos siguientes condiciones: - ninguna recta pasa por ninguno de los puntos de la configuración; - ninguna región contiene puntos de ambos colores. Hallar el menor valor de $k$ tal que para cualquier configuración colombiana de $4027$ puntos hay una colección buena de $k$ rectas.