Un conjunto de $5$ enteros positivos distintos se llama ""virtual"" si el máximo común divisor de cualesquiera tres de sus elementos es mayor que $1$, pero el máximo común divisor de cuatro de ellos es igual a $1$. Demostrar que, en cualquier conjunto virtual, el producto de sus elementos tiene al menos $2020$ divisores positivos distintos.

Un conjunto $\{a,b,c,d\}$ de cuatro enteros positivos se llama "bueno" si hay dos de ellos tales que su producto es múltiplo del mayor común divisor de los dos restantes. Por ejemplo, el conjunto $\{2,4,6,8\}$ es bueno ya que el máximo común divisor de $2$ y $6$ es $2$, y divide a $4\times 8=32$. Encuentra el mayor valor posible de $n$, tal que cualquier conjunto de cuatro elementos con elementos menores o iguales a $n$ sea bueno.

A cada entero positivo se le aplica el siguiente proceso: al número se le resta la suma de sus dígitos, y el resultado se divide entre $9$. Por ejemplo, el proceso aplicado al $938$ es $102$, ya que $\frac{938-(9+3+8)}{9}=102$. Aplicado dos veces el proceso a $938$ se llega a $11$, aplicado tres veces se llega a $1$, y aplicado cuatro veces se llega al $0$. Cuando a un entero positivo $n$ se le aplica el proceso una o varias veces, se termina en $0$. Al número al que se llega antes de llegar al cero, lo llamamos la casa de $n$. ¿ Cuántos números menores que $26000$ tienen la misma casa que el $2012$?

Sean $\mathcal{C}_1$ una circunferencia con centro $O$, $P$ un punto sobre ella y $\ell$ la recta tangente a $\mathcal{C}_1$ en $P$. Considera un punto $Q$ sobre $\ell$, distinto de $O$, y sea $\mathcal{C}_2$ la circunferencia que pasa por $O$, $P$ y $Q$. El segmento $OQ$ interseca a $\mathcal{C}_1$ en $S$ y la recta $PS$ interseca a $\mathcal{C}_2$ en un punto $R$ distinto de $P$. Si $r_1$ y $r_2$ son las longitudes de los radios de $\mathcal{C_1}$ y $\mathcal{C}_2$, respectivamente, muestra que\n$$\frac{PS}{SR}=\frac{r_1}{r_2}$$

Sea $n\geq 4$ un número par. Considera una cuadrícula de $n\times n$. Dos celdas de $1\times 1$ son vecinas si comparten un lado, si están en extremos opuestos de un mismo renglón o si están en extremos opuestos de una misma columna. De esta forma, toda celda en la cuadrícula tiene exactamente cuatro celdas vecinas. En cada celda está escrito un número del $1$ al $4$ de acuerdo con las siguientes reglas: Si en una celda está escrito un $2$ entonces en dos o más celdas vecinas está escrito un $1$. Si en una celda está escrito un $3$ entonces en tres o más celdas vecinas está escrito un $1$. Si en una celda está escrito un $4$ entonces en las cuatro celdas vecinas está escrito un $1$. Entre los acomodos que cumplan las condiciones anteriores, ¿cual el máximo número que se puede obtener sumando los números escritos en todas las celdas?

Un número entero $m\geq 1$ es mexica si es de la forma $n^{d(n)}$, donde $n$ es un entero positivo y $d(n)$ es el número de enteros positivos que dividen a $n$. Encuentra todos los números mexica menores que $2019$.

Una secuencia $a_2,a_3,\cdots, a_n$ de enteros positivos se dice que es campechana, si para cada $i$ tal que $2\leq i\leq n$ se cumple que exactamente $a_t$ términos de la secuencia son primos relativos con $i$. Decimos que el tamaño de dicha sucesión es $n-1$. Sea $m=p_1p_2\cdots p_k$, donde $p_1,p_2,\cdots,p_k$ son primos distintos por parejas y $k\geq 2$. Muestra que existen al menos dos secuencias campechanas diferentes de tamaño $m$.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle BAC=45^\circ$. Sean $H,O$ el ortocentro y el circuncentro de $ABC$, respectivamente. Sea $\omega$ el circuncirculo de $ABC$ y $P$ el punto sobre $\omega$ tal que el circuncirculo de $PBH$ es tangente a $BC$. Sean $X$ y $Y$ los circuncentros de $PHB$ y $PHC$ respectivamente. Sean $O_1, O_2$ los circuncentros de $PXO$ y $PYO$ respectivamente. Muestra que $O_1$ y $O_2$ están en $AB$ y $AC$, respectivamente.

Un conjunto de $n$ números enteros positivos distintos es equilibrado, si el promedio de cualesquiera $k$ números del conjunto es un número entero, para toda $1\leq k\leq n$. Encuentra la mayor suma que pueden tener los elementos de un conjunto equilibrado, con todos sus elementos menores o iguales que $2017$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo cuyo ortocentro es $H$. La circunferencia que pasa por los puntos $B$, $H$ y $C$ vuelve a intersectar a las rectas $AB$ y $AC$ en los puntos $D$ y $E$, respectivamente. Sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección de $HB$ y $HC$ con el segmento $DE$, respectivamente. Se consideran los puntos $X$ e $Y$ (distintos de $A$) que están sobre las recta $AP$ y $AQ$, respectivamente, de manera que los puntos $X$, $A$, $H$ y $B$ están sobre un círculo y los puntos $Y$, $A$, $H$ y $C$ están sobre un círculo. Muestra que las rectas $XY$ y $BC$ son paralelas.