En una isla hay dos tipos de habitantes; los $V$ que siempre dicen verdad y los $M$ que siempre dicen mentira. Un inspector llegó a la isla y preguntó a cada uno de los habitantes sobre si otro de los habitantes era $V$ o $M$. No preguntó sobre el mismo habitante dos veces. Luego corrió de la isla a todos aquellos que habían sido señalados de ser $M$. Los $V$ que se quedaron pero que habían acusado a alguien de ser $M$ se sintieron culpables y también se fueron de la isla. La cantidad de los $V$ que se salieron en esta segunda instancia fue la quinta parte de los $V$ que se habían ido en primera instancia. ¿Qué proporción de los habitantes que se fueron de la isla eran $V$?

Encontrar todas las parejas de enteros positivos $(x, y)$ que cumplen con que su producto es igual a $5$ veces su suma.

¿Cuál es el entero más cercano al valor de $x - y$ si $x = 1^2 + \frac{2^2}{3} + \frac{3^2}{5} + \ldots + \frac{50^2}{99}$ y $y = \frac{1^2}{3} + \frac{2^2}{5} + \frac{3^2}{7} + \ldots + \frac{50^2}{101}$?

¿De cuántas maneras es posible cortar un papel cuadriculado de $6 \times 6$ empezando en la parte inferior del papel y llegando a la superior si sólo se puede cortar sobre las líneas de la cuadrícula, las dos piezas en que quede partido deben ser iguales y no se se puede cortar hacia abajo (ver ilustración)? (Nota: Dos piezas se consideran iguales si se puede colocar una sobre la otra y ajustan perfectamente.) [image]

Determinar todas las parejas de enteros positivos $(a,b)$ que cumplan: $a + b + ab = 134$ y $a \leq b$.

En la mesa hay tres montones de piedras. El montón A tiene 52 piedras, el montón B tiene 40 y el montón C tiene 1. En cada momento Esteban puede hacer uno de los siguientes movimientos: *Quitar 5 piedras de A y ponérselas a B *Quitar 4 piedras de B y ponérselas a C *Quitar 3 piedras de A y ponérselas a C. ¿Cuántos movimientos necesita hacer Esteban para lograr que en todos los montones haya el mismo número de piedras?

El cuadrado $ABCD$ tiene lados de longitud 2; $E$ y $F$ son los puntos medios de los lados $AB$ y $AD$, respectivamente, y $G$ es un punto en $CF$ tal que $3GC = 2GF$ (ver la figura). ¿Cuál es el área del triángulo $BEG$? [image]

Un rectángulo se parte en 5 rectángulos de lados enteros y áreas 3, 4, 7, 10 y 12. Determinar todos los posibles perímetros del rectángulo.

Se tienen 2012 tarjetas numeradas del 1 al 2012, en orden, en una línea. Se van recogiendo algunas cartas en forma alternada como sigue: Se recoge la 1 y se deja la 2 en la fila, se recoge la 3 y se deja la 4 en la fila, etc. Luego se vuelve a comenzar con las cartas que quedan en la fila, así que se recoge la 2 y se deja la 4, se recoge la 6 y se deja la 8 y así sucesivamente. Cuando se llega al final de la fila, se vuelve a empezar. ¿Cuántas cartas quedan en la fila en el momento que se recoge la carta 2012? (Por ejemplo, si sólo hubiera cartas de la 1 a la 6 y se preguntara por cuántas cartas quedan al recoger la carta 6, la respuesta sería 1 pues se habrán recogido, en orden, las cartas con números 1, 3, 5, 2 y 6 así que sólo quedaría la 4.)

A una cena llegan 3 parejas. Se quieren sentar en una mesa redonda de manera que nadie quede junto a su pareja. ¿De cuántas maneras se pueden acomodar si Adela ya tiene un lugar asignado fijo?