Semifinal Estatal OMM 2011 Problema 5
¿De cuántas maneras es posible acomodar los números del $1$ al $10$ de manera que del primero al séptimo vayan creciendo, que el séptimo sea mayor que el octavo, y que del octavo al décimo vayan creciendo otra vez? (Por ejemplo, una posibilidad es $1,2,3,5,6,8,10,4,7,9$.)
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Semifinal Estatal OMM 2011 Problema 3
Un rectángulo de lados enteros $ABCD$ y área $756$ se parte en tres rectángulos de lados enteros: $AFHG$, $FBIH$ y $GICD$ como se muestra en la figura, y de manera que el área de $FBIH$ es el triple que la de $AFHG$ y el área de $GICD$ es 5 veces el área de $AFHG$. Determinar todas las posibilidades para la longitud de $AD$.
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Semifinal Estatal OMM 2011 Problema 4
¿Cuántos elementos a lo más podemos escoger dentro del conjunto $ extbraceleft 1,2,3,...,20 extbraceright$ si no queremos que la suma de dos los números escogidos sea múltiplo de un número al cuadrado mayor que $1$?
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Semifinal Estatal OMM 2011 Problema 1
Sean $K_A$ y $K_B$ circunferencias del mismo radio con centros $A$ y $B$, respectivamente, y tales que $A$ está en $K_B$. Sea $C$ en $K_A$ tal que la medida $g$ del ángulo $ riangle ABC$ satisfaga $30^ ext{o}< g <60^ ext{o}$. Sobre $K_B$ tómese el punto $D$ (distinto de $A$) para el cual $ riangle CBD = g$ y constrúyase la circunferencia $K_C$ que pasa por $A$ y tiene centro $C$. De $D$ hacia $C$ tráacese una recta hasta que toque a $K_C$ y sea $E$ el punto de intersección. Probar que $ riangle AEC = g$.
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Semifinal Estatal OMM 2010 Problema 3
La figura representa una telaraña en la que cada segmento mide 1. La araña se encuentra en el centro y quiere llegar a la orilla caminando por los lados de los triángulos y usando sólo 4 segmentos en total. ¿Cuántos caminos distintos puede seguir? [image]
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Semifinal Estatal OMM 2010 Problema 2
Encuentra 5 enteros positivos diferentes tales que el producto de cualesquiera dos de ellos sea múltiplo de cada uno de los demás.
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Semifinal Estatal OMM 2010 Problema 1
Se tienen 6 pelotas rojas (iguales entre sí), 5 pelotas azules (iguales entre sí) y dos cajas abiertas, una de ellas negra y la otra blanca. Desde lejos se lanzan las pelotas hacia las cajas. Algunas pueden caer dentro de la caja blanca, otras dentro de la negra y otras fuera de las cajas. ¿Cuántos resultados son posibles? (por ejemplo, un resultado posible es que en la caja negra queden 3 pelotas rojas y ninguna azul, que en la caja blanca queden 2 rojas y 3 azules y que fuera de las cajas queden 1 roja y 2 azules).
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Semifinal Estatal OMM 2010 Problema 6
En un triángulo equilátero $ABC$ de lado 2 se prolonga el lado $AB$ hasta un punto $D$ de manera que $B$ sea punto medio de $AD$. Sea $E$ un punto sobre $AC$ de manera que $ abla ADE = 15^ ext{o}$ y se toma un punto $F$ sobre $AB$ de manera que $ |EF| = |EC| $. Determina el área del triángulo $AFE$.
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Semifinal Estatal OMM 2010 Problema 5
En una fila hay 6 fichas. Cada ficha tiene una cara negra, $N$, y la otra blanca, $B$. Al principio se encuentran en la posición $NBNBNB$. Lulú puede hacer lo siguiente tantas veces como quiera: Escoge dos fichas y las voltea (por ejemplo, si se escoge la primera y la cuarta, las fichas quedan en la posición $BBNNNB$; si luego escoge la primera y la sexta, entonces la nueva posición es $NBNNNN$). Haciendo esto, ¿cuántas posiciones distintas puede lograr?
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Semifinal Estatal OMM 2010 Problema 4
En la figura las rectas son tangentes a las circunferencias en los puntos indicados. Calcula $|CD|$ si se sabe que $|AB| = 10$. (¿Es importante el tamaño de los círculos?) [image]
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