Sean $x$ e $y$ números reales positivos tales que $y^3 + y \leq x - x^3$ . Demuestre que (A) $y < x < 1$ (B) $x^2 + y^2 < 1$ .

Sea $p_1, p_2, \ldots$ una secuencia de primos tal que $p_1 =2$ y para $n\geq 1, p_{n+1}$ es el factor primo más grande de $p_1 p_2 \ldots p_n +1$ . Demuestre que $p_n \not= 5$ para cualquier $n$ .

Sea ABCD un cuadrilátero; X e Y los puntos medios de AC y BD respectivamente y las líneas que pasan por X e Y respectivamente paralelas a BD, AC se encuentran en O. Sean P,Q,R,S los puntos medios de AB, BC, CD, DA respectivamente. Demuestre que (A) APOS y APXS tienen la misma área (B) APOS, BQOP, CROQ, DSOR tienen la misma área.

Demuestre que el número de ternas $(A,B,C)$ donde $A, B, C$ son subconjuntos de $\{ 1,2, \ldots , n \}$ tal que $A \cap B \cap C = \phi$ , $A \cap B \not= \phi$ , $C \cap B \not= \phi$ es $7^n - 2 . 6^n + 5^n$ .

Sean $\alpha$ y $\beta$ las raíces de la ecuación $x^2 + mx -1 = 0$ donde m es un entero impar. Sea $\lambda _n = \alpha ^n + \beta ^n , n \geq 0$. Pruebe que (A) $\lambda _n$ es un entero (B) gcd ( $\lambda _n , \lambda_{n+1}$ ) = 1 .

Se escriben enteros positivos en todas las caras de un cubo, uno en cada una. En cada esquina del cubo, se escribe el producto de los números en las caras que se encuentran en el vértice. La suma de los números escritos en las esquinas es 2004. Si T denota la suma de los números en todas las caras, encuentre los posibles valores de T.

Considere en el plano un círculo $\Gamma$ con centro O y una línea l que no interseca al círculo. Demuestre que existe un único punto Q en la perpendicular trazada desde O a la línea l, tal que para cualquier punto P en la línea l, PQ representa la longitud de la tangente desde P al círculo dado.

Un entero $n$ se dice que es bueno si $|n|$ no es el cuadrado de un entero. Determinar todos los enteros $m$ con la siguiente propiedad: $m$ se puede representar, de infinitas maneras, como una suma de tres enteros distintos buenos cuyo producto es el cuadrado de un entero impar.

Sean $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ y $Q(x) = x^2 + px + q$ dos polinomios reales. Supongamos que existe un intervalo $(r,s)$ de longitud mayor que $2$ TAL QUE TANTO $P(x)$ COMO $Q(x)$ SON nEGATIVOS PARA $X \in (r,s)$ y ambos son positivos para $x > s$ y $x<r$ . Demostrar que existe un real $x_0$ tal que $P(x_0) < Q(x_0)$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $\Gamma$ un círculo con $AB$ como diámetro que interseca $BC$ y $CA$ en $F ( \not= B)$ y $E (\not= A)$ respectivamente. Las tangentes dibujadas en $E$ y $F$ a $\Gamma$ se intersecan en $P$ . Demostrar que la razón del circuncentro del triángulo $ABC$ al de $EFP$ es un número racional.