Sean $ C$ y $ D$ dos puntos de intersección del círculo $ O_1$ y el círculo $ O_2$ . Una línea, que pasa por $ D$ , interseca el círculo $ O_1$ y el círculo $ O_2$ en los puntos $ A$ y $ B$ respectivamente. Los puntos $ P$ y $ Q$ están en los círculos $ O_1$ y $ O_2$ respectivamente. Las líneas $ PD$ y $ AC$ se intersecan en $ H$ , y las líneas $ QD$ y $ BC$ se intersecan en $ M$ . Suponga que $ O$ es el circuncentro del triángulo $ ABC$ . Demuestre que $ OD\perp MH$ si y solo si $ P,Q,M$ y $ H$ son concíclicos.

Sea el conjunto $ T = \{1,2,3,4,5,6,7,8\} $. Encuentra el número de todos los subconjuntos no vacíos $ A$ de $ T$ tal que $ 3|S(A)$ y $ 5\nmid S(A)$ , donde $ S(A)$ es la suma de todos los elementos en $ A$ .

Encuentre todos los enteros positivos $ n$ que tienen las siguientes propiedades: en coordenadas cartesianas bidimensionales, existe un polígono reticular convexo $ n$ cuyas longitudes de todos los lados son números impares, y diferentes entre sí. (donde polígono reticular se define como polígono cuyas coordenadas de todos los vértices son enteros en coordenadas cartesianas.)

Demuestre que para todo $ n\geq 2,$ existe un polinomio de grado $ n$ $ f(x) = x^n + a_{1}x^{n - 1} + \cdots + a_{n}$ tal que (1) $ a_{1},a_{2},\cdots, a_{n}$ todos son diferentes de $ 0$ ; (2) $ f(x)$ no se puede factorizar en el producto de dos polinomios que tienen coeficientes enteros y grados positivos; (3) para cualquier entero $ x, |f(x)|$ no son números primos.

Demuestre que en un plano, $ n$ puntos arbitrarios pueden ser superpuestos por discos cuya suma de todos los diámetros es menor que $ n$ , y las distancias entre dos cualesquiera son mayores que $ 1$ . (donde las distancias entre dos discos que no tienen puntos en común se definen como que las distancias entre sus centros restan la suma de sus radios; las distancias entre dos discos que tienen puntos en común son cero)

Sea $ 0 < x_{1}\leq\frac {x_{2}}{2}\leq\cdots\leq\frac {x_{n}}{n}, 0 < y_{n}\leq y_{n - 1}\leq\cdots\leq y_{1},$ Demuestre que $ (\sum_{k = 1}^{n}x_{k}y_{k})^2\leq(\sum_{k = 1}^{n}y_{k})(\sum_{k = 1}^{n}(x_{k}^2 - \frac {1}{4}x_{k}x_{k - 1})y_{k}).$ donde $ x_{0} = 0.$

Para un entero dado $ n\geq 2,$ determine las condiciones necesarias y suficientes que deben satisfacer los números reales $ a_{1},a_{2},\cdots, a_{n},$ no todos cero, tales que existan enteros $ 0<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n},$ que satisfagan $ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots+a_{n}x_{n}\geq 0.$

Sea $ ABC$ un triángulo acutángulo, sean $ M,N$ los puntos medios de los arcos menores $ \widehat{CA},\widehat{AB}$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $ ABC,$ el punto $ D$ es el punto medio del segmento $ MN,$ el punto $ G$ se encuentra en el arco menor $ \widehat{BC}.$ Denotemos por $ I,I_{1},I_{2}$ los incentros de los triángulos $ ABC,ABG,ACG$ respectivamente.Sea $ P$ la segunda intersección de la circunferencia circunscrita del triángulo $ GI_{1}I_{2}$ con la circunferencia circunscrita del triángulo $ ABC.$ Demuestre que tres puntos $ D,I,P$ son colineales.

Sea $ S$ un conjunto que contiene $ n$ elementos. Sean $ A_{1},A_{2},\cdots,A_{k}$ $ k$ subconjuntos distintos de $ S$ , donde $ k\geq 2, |A_{i}| = a_{i}\geq 1 ( 1\leq i\leq k)$ . Demuestre que el número de subconjuntos de $ S$ que no contienen ningún $ A_{i} (1\leq i\leq k)$ es mayor o igual que $ 2^n\prod_{i = 1}^k(1 - \frac {1}{2^{a_{i}}}).$

Sean $ x,y,z$ números reales positivos, demuestre que $ \frac {xy}{z} + \frac {yz}{x} + \frac {zx}{y} > 2\sqrt [3]{x^3 + y^3 + z^3}.$