En el triángulo no isósceles $ABC$ , $D$ es el punto medio del lado $BC$ , $E$ es el punto medio del lado $CA$ , $F$ es el punto medio del lado $AB$ . La línea (diferente de la línea $BC$ ) que es tangente al círculo inscrito del triángulo $ABC$ y que pasa por el punto $D$ interseca la línea $EF$ en $X$ . Define $Y,Z$ de manera similar. Demuestra que $X,Y,Z$ son colineales.

Encuentra todos los pares de enteros $(m,n)$ tales que existan dos polinomios mónicos $P(x)$ y $Q(x)$ , con $\deg{P}=m$ y $\deg{Q}=n$ , que satisfagan que $$P(Q(t))\not=Q(P(t))$$ se cumple para cualquier número real $t$ .

Supongamos que $S=\{1,2,3,...,2017\}$ , para cada subconjunto $A$ de $S$ , define un número real $f(A)\geq 0$ tal que: $(1)$ Para cualquier $A,B\subset S$ , $f(A\cup B)+f(A\cap B)\leq f(A)+f(B)$ ; $(2)$ Para cualquier $A\subset B\subset S$ , $f(A)\leq f(B)$ ; $(3)$ Para cualquier $k,j\in S$ , $$f(\{1,2,\ldots,k+1\})\geq f(\{1,2,\ldots,k\}\cup \{j\});$$ $(4)$ Para el conjunto vacío $\varnothing$ , $f(\varnothing)=0$ . Confirma que para cualquier subconjunto de tres elementos $T$ de $S$ , la desigualdad $$f(T)\leq \frac{27}{19}f(\{1,2,3\})$$ se cumple.

Sea $x>1$ , $n$ un entero positivo. Demuestra que $$\sum_{k=1}^{n}\frac{\{kx \}}{[kx]}<\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2k-1}$$ Donde $[kx ]$ es la parte entera de $kx$ , $\{kx \}$ es la parte decimal de $kx$ .

Encuentra el valor máximo de la cantidad de aristas de un octaedro regular sólido que podemos ver desde un punto fuera del octaedro regular. (Definimos que podemos ver una arista $AB$ del octaedro regular desde un punto $P$ fuera si y solo si la intersección del triángulo no degenerado $PAB$ y el octaedro regular sólido es exactamente la arista $AB$).

Tao juega el siguiente juego: dado una constante $v>1$; para cualquier entero positivo $m$, el tiempo entre la ronda $m^{th}$ y la ronda $(m+1)^{th}$ del juego es $2^{-m}$ segundos; Tao elige un área segura circular cuyo radio es $2^{-m+1}$ (con el borde, y el tiempo de elección no se calculará) en el plano en la ronda $m^{th}$; el área segura circular elegida en cada ronda mantendrá su centro fijo, y su radio disminuirá a la velocidad $v$ en el resto del tiempo (si el radio disminuye a $0$, borra el área segura circular); si es posible elegir un área segura circular dentro de la unión de las áreas seguras restantes en algún momento antes de la ronda $100^{th}$ (incluida la ronda $100^{th}$), entonces Tao gana el juego. Si Tao tiene una estrategia ganadora, encuentra el valor mínimo de $\biggl\lfloor\frac{1}{v-1}\biggr\rfloor$.

Demuestra que para cualquier número real positivo $\lambda$, existen $n$ números positivos $a_1, a_2, \cdots, a_n (n\geq 2)$, de modo que $a_1<a_2<\cdots<a_n<2^n\lambda$ y para cualquier $k=1,2,\cdots,n$ tenemos $$\gcd(a_1,a_k)+\gcd(a_2,a_k)+\cdots+\gcd(a_n,a_k)\equiv 0\pmod{a_k}$$

Sea $O$ el circuncentro de $\triangle ABC$. Un círculo con centro $P$ pasa por $A$ y $O$ y $OP$ / / $BC$. $D$ es un punto tal que $\angle DBA = \angle DCA = \angle BAC$. Demuestra que: El círculo $(P)$, el círculo $(BCD)$ y el círculo con diámetro $(AD)$ comparten un punto común.

Sean $a,b,c,d$ enteros no negativos. $(1)$ Si $a^2+b^2-cd^2=2022 ,$ encuentra el mínimo de $a+b+c+d;$ $(1)$ Si $a^2-b^2+cd^2=2022 ,$ encuentra el mínimo de $a+b+c+d .$

Si $x_i$ es un entero mayor que 1, sea $f(x_i)$ el mayor factor primo de $x_i, x_{i+1} = x_i - f(x_i)$ ($i\ge 0$ e i es un entero).\n(1) Demuestra que para cualquier entero $x_0$ mayor que 1, existe un número natural $k(x_0)$, tal que $x_{k(x_0)+1}=0$.\n(2) Sea $V_{(x_0)}$ el número de números diferentes en $f(x_0), f(x_1), \cdots, f(x_{k(x_0)})$. Encuentra el número más grande en $V(2), V(3), \cdots, V(781)$ y da las razones.