En $\triangle ABC$ , $AB>AC$ . Sean $O$ e $I$ el circuncentro e incentro respectivamente. Pruebe que si $\angle AIO = 30^{\circ}$ , entonces $\angle ABC = 60^{\circ}$ .

La función $f(x)=x^2+ \sin x$ y la secuencia de números positivos $\{ a_n \}$ satisfacen $a_1=1$ , $f(a_n)=a_{n-1}$ , donde $n \geq 2$ . Pruebe que existe un entero positivo $n$ tal que $a_1+a_2+ \dots + a_n > 2020$ .

Sea $G$ un grafo simple con $2 \cdot n$ vértices y $n^{2}+1$ aristas. Demuestra que este grafo $G$ contiene un $K_{4}-\text{una arista}$ , esto es, dos triángulos con una arista común.

Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que la ecuación $x^3+y^3+z^3=n \cdot x^2 \cdot y^2 \cdot z^2$ tiene soluciones enteras positivas.

Dada una figura convexa en el plano cartesiano que es simétrica con respecto a ambos ejes, construimos un rectángulo $A$ dentro de ella con área máxima (sobre todos los rectángulos posibles). Luego la agrandamos con centro en el centro del rectángulo y razón lambda tal que cubra la figura convexa. Encuentra el lambda más pequeño tal que funcione para todas las figuras convexas.

Sea $r_1=2$ y $r_n = \prod^{n-1}_{k=1} r_i + 1$ , $n \geq 2.$ Demuestra que entre todos los conjuntos de enteros positivos tales que $\sum^{n}_{k=1} \frac{1}{a_i} < 1,$ las secuencias parciales $r_1,r_2, ... , r_n$ son las que se acercan más a 1.

Un polígono reticular cerrado con 100 lados (puede ser cóncavo) es dado tal que sus vértices tienen coordenadas enteras, sus lados son paralelos al eje y todos sus lados tienen longitud impar. Demuestra que su área es impar.

a.) Para todo entero positivo $k$ encuentra el entero positivo más pequeño $f(k)$ tal que $5$ conjuntos $s_1,s_2, \ldots , s_5$ existan satisfaciendo: i. cada uno tiene $k$ elementos; ii. $s_i$ y $s_{i+1}$ son disjuntos para $i=1,2,...,5$ ( $s_6=s_1$ ) iii. la unión de los $5$ conjuntos tiene exactamente $f(k)$ elementos. b.) Generalización: Considera $n \geq 3$ conjuntos en lugar de $5$ .

Asuma que $ S=(a_1, a_2, \cdots, a_n)$ consiste de $ 0$ y $ 1$ y es la secuencia más larga de números, que satisface la siguiente condición: Cada dos secciones de $ 5$ términos sucesivos en la secuencia de números $ S$ son diferentes, i.e., para arbitrarios $ 1\le i<j\le n-4$ , $ (a_i, a_{i+1}, a_{i+2}, a_{i+3}, a_{i+4})$ y $ (a_j, a_{j+1}, a_{j+2}, a_{j+3}, a_{j+4})$ son diferentes. Demostrar que los primeros cuatro términos y los últimos cuatro términos en la secuencia son los mismos.

Asuma que $ \alpha$ y $ \beta$ son dos raíces de la ecuación: $ x^2-x-1=0$ . Sea $ a_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}$ , $ n=1, 2, \cdots$ . (1) Demuestre que para cualquier entero positivo $ n$ , tenemos $ a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ . (2) Hallar todos los enteros positivos $ a$ y $ b$ , $ a<b$ , satisfaciendo $ b \mid a_n-2na^n$ para cualquier entero positivo $ n$ .