Para un entero positivo $a$ , sea $S_{a}$ el conjunto de primos $p$ para los cuales existe un entero impar $b$ tal que $p$ divide a $(2^{2^{a}})^{b}-1.$ Demuestra que para cada $a$ existen infinitos primos que no están contenidos en $S_{a}$ .

En un triángulo $ABC$ con $AB\not = AC$ , el incírculo toca los lados $BC, CA, AB$ en $D, E, F$ , respectivamente. La línea $AD$ se encuentra con el incírculo nuevamente en $P$ . La línea $EF$ y la línea que pasa por $P$ perpendicular a $AD$ se encuentran en $Q$ . La línea $AQ$ intersecta a $DE$ en $X$ y a $DF$ en $Y$ . Demuestra que $A$ es el punto medio de $XY$ .

Un subconjunto $S \in \{0, 1, 2, \cdots , 2000\}$ satisface $|S|=401$ . Demuestra que existe un entero positivo $n$ tal que hay al menos $70$ enteros positivos $x$ tales que $x, x+n \in S$

Sea $N=2^a p_1^{b_1} p_2^{b_2} \ldots p_k^{b_k}$ . Demuestra que hay $(b_1+1)(b_2+1)\ldots(b_k+1)$ número de $n$ s que satisfacen estas dos condiciones. $\frac{n(n+1)}{2}\le N$ , $N-\frac{n(n+1)}{2}$ es dividido por $n$ .

Para un entero positivo $n$ , hay $n$ reales positivos $a_1 \ge a_2 \ge a_3 \cdots \ge a_n$ . Para todos los reales positivos $b_1, b_2, \cdots b_n$ , demuestra la siguiente desigualdad. $$\frac{a_1b_1+a_2b_2 + \cdots +a_nb_n}{a_1+a_2+ \cdots a_n} \le \text{max}\{ \frac{b_1}{1}, \frac{b_1+b_2}{2}, \cdots, \frac{b_1+b_2+ \cdots +b_n}{n} \}$$

Un triángulo no isósceles $\triangle ABC$ tiene incentro $I$ y el incírculo golpea $BC, CA, AB$ en $D, E, F$ . Sea $EF$ golpear la circunferencia de $CEI$ en $P \not= E$ . Demuestra que $\triangle ABC = 2 \triangle ABP$ .

Para un entero positivo $n$ , $S_n$ es el conjunto de enteros positivos $n$ -tuplas $(a_1,a_2, \cdots ,a_n)$ que satisface lo siguiente. (i). $a_1=1$ . (ii). $a_{i+1} \le a_i+1$ . Para $k \le n$ , define $N_k$ como el número de $n$ -tuplas $(a_1, a_2, \cdots a_n) \in S_n$ tal que $a_k=1, a_{k+1}=2$ . Encuentra la suma $N_1 + N_2+ \cdots N_{k-1}$ .

El triángulo acutángulo $\triangle ABC$ tiene área $S$ y perímetro $L$ . Un punto $P$ dentro de $\triangle ABC$ tiene $dist(P,BC)=1, dist(P,CA)=1.5, dist(P,AB)=2$ . Sea $BC \cap AP = D$ , $CA \cap BP = E$ , $AB \cap CP= F$ . Sea $T$ el área de $\triangle DEF$ . Demuestra la siguiente desigualdad. $$ \left( \frac{AD \cdot BE \cdot CF}{T} \right)^2 > 4L^2 + \left( \frac{AB \cdot BC \cdot CA}{24S} \right)^2 $$

Un triángulo no isósceles $\triangle ABC$ tiene su incírculo tangente a $BC, CA, AB$ en los puntos $D, E, F$ . Sea el incentro $I$ . Digamos que $AD$ golpea el incírculo de nuevo en $G$ , y que la tangente al incírculo en $G$ golpea $AC$ en $H$ . Sea $IH \cap AD = K$ , y sea el pie de la perpendicular de $I$ a $AD$ sea $L$ . Demuestra que $IE \cdot IK= IC \cdot IL$ .

Sea $n$ un entero positivo. El número de soluciones de $x^2+2016y^2=2017^n$ es $k$ . Escribe $k$ con $n$ .