Encuentra todos los pares de enteros positivos $(n,t)$ tales que $6^n+1=n^2t$, y $(n,29 \times 197)=1$

Sea un triángulo acutángulo $ABC$ con ortocentro $H$. Sean $BH, CH$ que golpean el circuncírculo de $\triangle ABC$ en $D, E$. Sea $P$ un punto en $AB$, entre $B$ y el pie de la perpendicular desde $C$ a $AB$. Sea $PH \cap AC = Q$. Ahora el circuncírculo de $\triangle AEP$ golpea $CH$ en $S$, el circuncírculo de $\triangle ADQ$ golpea $BH$ en $R$, y el circuncírculo de $\triangle AEP$ golpea el circuncírculo de $\triangle ADQ$ en $J (\not=A)$. Demuestra que $RS$ es la bisectriz perpendicular de $HJ$.

Sean $x,y,z \ge 0$ números reales tales que $(x+y-1)^2+(y+z-1)^2+(z+x-1)^2=27$. Encuentra el máximo y el mínimo de $x^4+y^4+z^4$

$p, q, r$ son números naturales mayores que 1. Hay $pq$ bolas colocadas en un círculo, y un número entre $0, 1, 2, \cdots , pr-1$ está escrito en cada bola, satisfaciendo las siguientes condiciones. (1) Si $i$ y $j$ están escritos en dos bolas adyacentes, $|i-j|=1$ o $|i-j|=pr-1$. (2) $i$ está escrito en una bola $A$. Si saltamos $q-1$ bolas en el sentido de las agujas del reloj desde $A$ y vemos la bola $q^{th}$, $i+r$ o $i-(p-1)r$ está escrito en ella. (Esta condición se satisface para cada bola.) Si $p$ es par, demuestra que el número de pares de dos bolas adyacentes con $1$ y $2$ escrito en ellas es impar.

Sea un triángulo acutángulo $ABC$, tal que $\angle ABC < \angle ACB$. Sea la perpendicular desde $A$ a $BC$ que golpea el circuncírculo de $ABC$ en $D$, y sea $M$ el punto medio de $AD$. La tangente al circuncírculo de $ABC$ en $A$ golpea la bisectriz perpendicular de $AD$ en $E$, y el circuncírculo de $MDE$ golpea el circuncírculo de $ABC$ en $F$. Sea $G$ el pie de la perpendicular desde $A$ a $BD$, y $N$ el punto medio de $AG$. Demuestra que $B, N, F$ son colineales.

Resolver: $a, b, m, n\in \mathbb{N}$ $a^2+b^2=m^2-n^2, ab=2mn$

Hay $n$ puntos de la red en una posición general. (ningún tres puntos son colineales) Un polígono convexo $P$ cubre los dichos $n$ puntos. (las fronteras están incluidas) Demuestra que, para un $n$ suficientemente grande y un real positivo $\epsilon$, el perímetro de $P$ no es menor que $(\sqrt{2}+\epsilon)n$.

Hay tres círculos $w_1, w_2, w_3$. Sean $w_{i+1} \cap w_{i+2} = A_i, B_i$, donde $A_i$ está dentro de $w_i$. Sea $\gamma$ el círculo que está dentro de $w_1,w_2,w_3$ y es tangente a los tres círculos dichos en $T_1, T_2, T_3$. Sean los circuncírculos de $T_iA_{i+1}T_{i+2}$ y los circuncírculos de $T_iA_{i+2}T_{i+1}$ se encuentran en $S_i$. Demuestra que los circuncírculos de $A_iB_iS_i$ se encuentran en dos puntos. ( $1 \le i \le 3$ , índices tomados módulo $3$ ) Si uno de $A_i,B_i,S_i$ son colineales - las intersecciones de los otros dos círculos se encuentran en esta línea. Demuestra esto también.

Sean $a_i, b_i$ ( $1 \le i \le n$ , $n \ge 2$ ) números reales positivos tales que $\sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^n b_i$. Demuestra que $\sum_{i=1}^n \frac{(a_{i+1}+b_{i+1})^2}{n(a_i-b_i)^2+4(n-1)\sum_{j=1}^n a_jb_j} \ge \frac{1}{n-1}$

Encuentra todas las $\{a_n\}_{n\ge 0}$ que satisfacen las siguientes condiciones. (1) $a_n\in \mathbb{Z}$ (2) $a_0=0, a_1=1$ (3) Para infinitamente muchos $m$, $a_m=m$ (4) Para cada $n\ge2$, $\{2a_i-a_{i-1} | i=1, 2, 3, \cdots , n\}\equiv \{0, 1, 2, \cdots , n-1\}$ $\mod n$