Hay $n$ ($\ge 2$) clubes $A_1,A_2,...A_n$ en la Sociedad Matemática de Corea. Demuestra que existen $n-1$ conjuntos $B_1,B_2,...B_{n-1}$ que satisfacen la condición de abajo.\n(1) $A_1\cup A_2\cup \cdots A_n=B_1\cup B_2\cup \cdots B_{n-1}$\n(2) para cualquier $1\le i<j\le n-1$ , $B_i\cap B_j=\emptyset, -1\le\left\vert B_i \right\vert -\left\vert B_j \right\vert\le 1$\n(3) para cualquier $1\le i \le n-1$ , existen $A_k,A_j $ ( $1\le k\le j\le n$ ) tal que $B_i\subseteq A_k\cup A_j$

Sea $P$ un conjunto de personas. Para dos personas $A$ y $B$, si $A$ conoce a $B$, $B$ también conoce a $A$. Cada persona en $P$ conoce a $2$ o menos personas en el conjunto. $S$, un subconjunto de $P$ con $k$ personas, se llama conjunto k-independiente de $P$ si dos personas cualesquiera en $S$ no se conocen entre sí. $X_1, X_2, …, X_{4041}$ son conjuntos 2021-independientes de $P$ (no necesariamente distintos). Demuestra que existe un conjunto 2021-independiente de $P$, $\{v_1, v_2, …, v_{2021}\}$, que satisface la siguiente condición: Para algún entero $1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_{2021} \leq 4041$, $v_1 \in X_{i_1}, v_2 \in X_{i_2}, \ldots, v_{2021} \in X_{i_{2021}}$\nGráficamente: Sea $G$ un grafo simple finito con grado máximo a lo sumo $2$. Sean $X_1, X_2, \ldots, X_{4041}$ conjuntos independientes de tamaño $2021$ (no necesariamente distintos). Demuestra que existe otro conjunto independiente $\{v_1, v_2, \ldots, v_{2021}\}$ de tamaño $2021$ e índices $1 \le t_1 < t_2 < \cdots < t_{2021} \le 4041$ tal que $v_i \in X_{t_i}$ para todo $i$.

Dado un entero positivo $k(\ge 8)$. Demuestra que si existe un par de enteros positivos $(x,y)$ que satisface las siguientes condiciones, entonces existen infinitos pares $(x,y)$.\n(1) $x\mid y^2-3, y\mid x^2-2$\n(2) $gcd\left(3x+\frac{2(y^2-3)}{x},2y+\frac{3(x^2-2)}{y}\right)=k$

Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo con incentro $I$ y circuncentro $O$. La línea perpendicular a $AI$ que pasa por $I$ intersecta a $AB$ y $AC$ en $D$ y $E$ respectivamente. La línea paralela a $BI$ que pasa por $D$ y la línea paralela a $CI$ que pasa por $E$ se intersectan en $F$. Denotemos el circuncírculo de $DEF$ como $\omega$, y su centro como $K$. $\omega$ y $FI$ se intersectan en $P$ ($\neq F$). Demuestra que $O,K,P$ son colineales.

Se dice que un conjunto $X$ es elegante si satisface todas las siguientes condiciones: El número de elementos de $X$ es $2022$ . Cada elemento de $X$ es un intervalo cerrado contenido en $[0, 1]$ . Para cualquier número real $r \in [0, 1]$ , el número de elementos de $X$ que contienen a $r$ es menor o igual que $1011$ . Para conjuntos elegantes $A, B$ , e intervalos $I \in A, J \in B$ , denotemos por $n(A, B)$ el número de pares $(I, J)$ tales que $I \cap J \neq \emptyset$ . Determine el valor máximo de $n(A, B)$ .

Encuentre todos los enteros positivos $m$ tales que existan enteros $x$ e $y$ que satisfagan $$m \mid x^2+11y^2+2022.$$

Sea $ABC$ un triángulo escaleno con incentro $I$ y sea $AI$ que se encuentra con la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ nuevamente en $M$ . La circunferencia inscrita $\omega$ del triángulo $ABC$ es tangente a los lados $AB, AC$ en $D, E$ , respectivamente. Sea $O$ el circuncentro del triángulo $BDE$ y sea $L$ la intersección de $\omega$ y la altura de $A$ a $BC$ de modo que $A$ y $L$ se encuentren en el mismo lado con respecto a $DE$ . Denotemos por $\Omega$ un círculo centrado en $O$ y que pasa por $L$ , y sea $AL$ que se encuentra con $\Omega$ nuevamente en $N$ . Demuestre que las líneas $LD$ y $MB$ se encuentran en la circunferencia circunscrita del triángulo $LNE$ .

Se da una función $g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que su rango es un conjunto finito. Encuentre todas las funciones $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfacen $$2f(x+g(y))=f(2g(x)+y)+f(x+3g(y))$$ para todos los $x, y \in \mathbb{R}$ .

Hay $n$ cajas $A_1, ..., A_n$ con un número no negativo de piedras dentro de ellas (por lo que puede estar vacía). Sea $a_n$ el número de piedras en la caja $A_n$ . Hay un total de $3n$ piedras en las cajas. De ahora en adelante, Alice realiza la siguiente operación. En cada operación, Alice elige una de estas cajas que no está vacía. Luego, divide estas piedras en $n$ grupos de tal manera que la diferencia del número de piedras en dos grupos cualesquiera es como máximo 1, y coloca estos $n$ grupos de piedras en $n$ cajas una por una. Esto continúa hasta que solo una caja tiene todas las piedras y el resto están vacías. Y cuando termina, define $Length$ como el número total de operaciones realizadas por Alice. Sea $f(a_1, ..., a_n)$ el valor más pequeño de $Length$ entre todas las operaciones posibles en $(a_1, ..., a_n)$ . Encuentre el valor máximo posible de $f(a_1, ..., a_n)$ entre todos los pares ordenados $(a_1, ..., a_n)$ , y encuentre todos los pares ordenados $(a_1, ..., a_n)$ que cumplan la igualdad.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$ , y sean $D$ , $E$ y $F$ los pies de las alturas desde $A$ , $B$ y $C$ a los lados $BC$ , $CA$ y $AB$ , respectivamente. Denotemos por $P$ la intersección de las tangentes a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $B$ y $C$ . La línea que pasa por $P$ perpendicular a $EF$ se encuentra con $AD$ en $Q$ , y sea $R$ el pie de la perpendicular desde $A$ a $EF$ . Demuestre que $DR$ y $OQ$ son paralelos.